热门试卷

证明：（1）连结AC，设AC∩BD=O，连接EO，

∵底面是正方形，∴O为AC的中点，OE为△PAC的中位线，

∴PA∥OE，而OE⊂平面EDB，PA⊄平面EBD，

∴PA∥平面EDB；

（2）∵PD⊥平面AC，BC⊂平面AC，

∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D，

∴BC⊥平面PDC，

∵DE⊂平面AC，∴BC⊥DE，①，

又∵PD⊥平面AC，DC⊂平面AC，

∴PD⊥DC，而PD=DC，

∴△PDC为等腰三角形，∴DE⊥PC，②，

由①②得：DE⊥平面PBC，

∴DE⊥PB，又EF⊥PB，

∴PB⊥平面DEF．

解：（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴BC⊥PA．（1分）

∵∠ACB是直径所对的圆周角，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．（2分）

又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．（3分）

（2）∵PA⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，

∴OC⊥PA．（4分）

∵C是半圆弧AB的中点，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，

又∵O是AB的中点，∴OC⊥AB．（5分）

∵PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，

∴OC⊥平面PAB，

结合PB⊂平面PAB，可得BP⊥OC．（6分）

设BP的中点为E，连结AE，

则OF是△AEB的中位线，可得OF∥AE，

∵PA=AB，E为BP中点，∴AE⊥BP，可得BP⊥OF．（7分）

∵OC∩OF=O，OC、OF⊂平面CFO，∴BP⊥平面CFO．

又∵CF⊂平面CFO，∴CF⊥BP．（8分）

（3）由（2）知OC⊥平面PAB，

∴CO是三棱锥C-BFO的高，且CO=1．（9分）

又∵，

（10分）

∴（11分）

又∵三棱锥P-ABC的体积（12分）

∴四棱锥C-AOFP的体积（13分）

解：解法一：（Ⅰ）证明

∵该几何体的正视图为直角梯形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为矩形，

∴BA，BC，BB1两两垂直．

以BC，BB1，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1分）

则N（0，2，2），B1（0，4，0），C1（2，4，0），C（2，0，0）

∵=（0，2，2）•（0，2，-2）=4-4=0=（0，2，2）•（2，0，0）=0（3分）

∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1，又NB1与B1C1相交于B1，

∴BN⊥平面C1B1N；（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（0，2，2）是平面C1B1N的一个法向量，（5分）

设为平面NCB1的一个法向量，

则⇒⇒，取=（2，1，1），（7分）

∴，

即二面角C-NB1-C1的余弦值为．（9分）

（Ⅲ）∵M（0，0，1）．设P（a，0，0）为BC上一点，则=（a，0，-1），∵MP∥平面CNB1，

∴⊥⇒•=（a，0，-1）•（2，1，1）=2a-1=0⇒．（12分）

又MP⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，∴当BP=时MP∥平面CNB1．（13分）

解法二：

（Ⅰ）证明：由已知得B1C1⊥平面BNB1，∴B1C1⊥BN，

BN=2=B1N，BB1=4，∴BB12=BN2+B1N2，∴BN⊥B1N

又B1C1与B1N交于B1，∴BN⊥平面C1B1N；

（Ⅱ）过N作NQB1C1，则BC∥QN，又BN⊥平面C1B1N，

∴CQ⊥平面C1B1N，则CQ⊥B1N，QN⊥B1N，∴∠CNQ是二面角C-B1N-Q的平面角θ，

在Rt△CNQ中，NQ=2，CQ=2，∴CN=2，cosθ==；

（Ⅲ）延长BA、B1N交于R，连接CR，∵MP∥平面CNB1，

MP⊂平面CBR，平面CBR∩平面CRN于CR，

∴MP∥CR，△RB1B中ANBB1，∴A为RB中点，

∴==，∴BP=，因此存在P点使MP∥平面CNB1．

证明：（1）如图连接GH，

∵点A1在平面BB1C1C上的射影H，

∴A1H⊥平面BB1C1C，

∵BB1BC⊂平面BB1C1C，∴A1H⊥BB1，

∵H是BC1的中点，G是CC1的中点，

∴HG∥BC，

由∠B1=90°知，BB1⊥B，∴BB1⊥HG

∵A1=H，∴BB1⊥平面A1HG，

∴BB1⊥A1G；

解：（2）取B1C1的中点E，连接HE、A1E，

由∠BB1C1=90°得，HE⊥B1C1，

∵A1H⊥平面BB1C1C，∴A1H⊥B1C1，

∵A1=H，∴B1C1⊥平面A1HE，∴B1C1⊥A1E，

∵H是BC1的中点，E是B1C1的中点，∴HE∥BB1，且HE=1，

在△A1HE中，A1E==2，∴=•B1C1AB•A1EBC==2，

设C到平面A1B1C1的距离为h，由=VA得，

×A1E×=×h×，

则2×2=h×2，解得h=，

∴C到平面A1B1C1的距离是．

解：

（Ⅰ）证明：因为A1在底面ABC上的射影为AC的中点D

所以平面A1ACC1⊥平面ABC

∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC

∴BC⊥平面A1ACC1∴BC⊥AC1

∵AC1⊥BA1且BC1∩BA1=B

∴AC1⊥平面A1BC

（Ⅱ）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系

∵AC1⊥平面A1BC∴AC1⊥A1C

∴四边形A1ACC1是菱形∵D是AC的中点

∴∠A1AD=60°∴A（2，0，0）A1（1，0，）

B（0，2，0）C1（-1，0，）

∴=（1，0，）=（-2，2，0）

设平面A1AB的法向量=（x，y，z），则，令z=1，

∴=（，，1）

∵=（2，0，0）∴

∴C1到平面A1AB的距离为

（Ⅲ）平面A1AB的法向量=（，，1），平面A1BC的法向量=（-3，0，）

∴，

设二面角A-A1B-C的平面角为θ，θ为锐角，

∴

即二面角A-A1B-C的余弦值为

解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60°        

∴四边形ABCD是等腰梯形，

且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120

∴∠ACB=90，∴AC⊥BC

又∵平面ACF⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．

（Ⅱ）当EM=时，AM∥平面BDF．

在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN：NA=1：2．

∵EM=而    EF=AC=，∴EM：FM=1：2．∴EM∥CN，EM=CN，

∴四边形ANFM是平行四边形．∴AM∥NF．

又NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF．∴AM∥平面BDF．

解：（Ⅰ）∵EC⊥平面ABD，

∴V=CE．SABD=…4分

证明：（Ⅱ）连接A1C1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中

B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，A1C1∩CC1=C1

∴B1D1⊥面A1C1CA，

AE⊂面A1C1CA

∴B1D1⊥AE…8分

（Ⅲ）证法一：连接AC1，取AC1的中点为H，取AC的中点O，连接HO，

∵HO∥EC且HO=EC

∴四边形HOCE为平行四边形，OC∥HE即AC∥HE---------13’

连接BD1，易知四边形A1BCD1为平行四边形，则H为BD1和A1C的交点

∴HE⊂平面B1DE

AC⊄平面B1DE

AC∥平面B1DE…12分

证法二：延长BC与B1E延长线交于F，连DF∵E为棱CC1中点

∴△B1C1E≌△FCE

∴CF=C1B1=CB

∴CF∥AD且CF=AD

∴ADFC为平行四边形

∴AC∥DF∵AC⊄平面B1DE

DF⊂平面B1DE

∴AC∥平面B1DE…12分．

证明：（1）连接A1E．

∵E，F分别为棱AB，AC的中点，

∴EF∥BC，

∵在三棱柱A1B1C1-ABC中，F，G分别为棱AC，A1C1的中点，

∴，

∴四边形A1FCG是平行四边形，

∴A1F∥GC．

又∵A1F∩FE=F，GC∩CB=C，

∴平面A1FE∥平面GBC，

∴A1E∥平面GBC；

（2））∵A1F⊥平面ABC，A1F∥GC，

∴GC⊥平面ABC，

∴GC⊥AC，

∵∠ACB=90°，∴AC⊥CB．

又CG∩BC=C，∴AC⊥平面BCG，

∴AC⊥BG，

又∵CH⊥BG，AC∩CH=C．

∴BG⊥平面ACH．

证明：（1）设AC∩BD=H，

连结EH．在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分

∠ADC，所以H为AC的中点．

又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA．

又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE，

所以PA∥平面BDE．

证明：（2）因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以PD⊥AC．

由（1）可得，DB⊥AC．

又PD∩DB=D，

故AC⊥平面PBD．