热门试卷

解：（Ⅰ）证明：E为BD1的中点，F为AB的中点；

∴EF为△ABD1的中位线；

∴EF∥AD1，AD1⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1；

∴EF∥平面ADD1A1；

（Ⅱ）AB∥CD，AB=2DC，F为AB中点；

∴DC∥FB，且DC=FB；

∴四边形DCBF为平行四边形；

∴DF=CB，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°；

∴△ADF为等边三角形，∠ADF=60°；

取AF中点G，连接DG，则∠GDC=90°；

即DG⊥DC，又DD1⊥底面ABCD；

∴DG，DC，DD1三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

，；

∴，；

设平面DEF的法向量为，则：；

∴，取z=1，则；

设A1F和平面DEF所成角为θ，则sinθ==；

∴A1F和平面DEF所成角的正弦值为．

解：连接C1D，与CD1相交于O，连接B0，

∵BC⊥面CD1，∴BC⊥C1D，

正方形C1D中，C1D⊥CD1，

∵BC∩CD1=C

∴C1D⊥平面BCD1A1，

∴∠OBC1为所求角

∵B1C1=BC1，

∴∠OBC1=．

解（1）菱形ABCD⇒AC⊥BD，PA⊥面ABCD⇒PA⊥BD，

又PA∩AC=A，所以BD⊥面PAC，又AE⊂面PAC，所以BD⊥AE；

（2）连接AC交BD于点O，以O为圆心，OA，OB分别为x，y轴，建立如图所示空间坐标系，

如图示：

，

设AB=2，则，B（0，1，0），D（0，-1，0），，

设，，

AE⊥平面PBD，，则，；

（3）因为AE⊥平面PBD，

所以AE是平面PBD的一个法向量，取

设AD与平面PBD所成角为θ，

则．

（1）证明：连接AC，则四边形ACC1A1是平行四边形，

∴A1C1∥AC，

∵A1C1⊄面ABCD，AC⊂面ABCD，

∴A1C1∥面ABCD；

（2）根据长方体的性质，可得AC是AC1在底面ABCD的射影，∠C1AC为对角线AC1与底面ABCD所成角．

∵AB=AD=1，AA1=2，

∴AC=，CC1=2，

在Rt△C1AC中，tan∠C1AC==．

（1）解：取A1B1中点M，连接C1M，BM．

∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，

∴C1M⊥A1B1，C1M⊥BB1．

∴C1M⊥平面A1ABB1．

∴∠C1BM为直线C1B与平面A1ABB1所成的角．

在Rt△BMC1中，C1M=a，BC1=a，

∴sin∠C1BM==．

（2）证明：取A1C1的中点D1，AC1的中点F，连接B1D1、EF、D1F．

则有D1FAA1，B1EAA1．

∴D1FB1E．

则四边形D1FEB1是平行四边形，

∴EFB1D1．

由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，

∴B1D1⊥A1C1．

又∵平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1，且B1D1⊂平面A1B1C1，

∴B1D1⊥平面ACC1A1，∴EF⊥平面ACC1A1．

∵EF⊂平面AEC1，∴平面AEC1⊥平面ACC1A1．

（3）由（2）知，EF⊥平面AC1，则EF是三棱锥E-ACC1的高．

由三棱柱各棱长都等于a，则EC=AE=EC1=a，AC1=a．

∴EF==a．

∵V=V，设三棱锥V的高为h，则h为点C1到平面AEC的距离．

则S△AEC•h=S•EF，

即×a2h=×a2•a．

∴h=a，即点C1到平面AEC的距离是a．

（1）证明：取DC的中点E，连接EM、EN，

∵M，N分别是PC、AB的中点，∴ME∥PD，NE∥AD，

∵ME∩NE=E，PD∩AD=D

∴平面MNE∥平面PAD

∵MN⊂平面MNE，

∴MN∥平面PAD；

（2）解：取AD的中点F，连接PF，BF

∵△PAD为正三角形，∴PF⊥AD

∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，

∴PF⊥底面ABCD，

∴∠PBF是直线PB与平面ABCD所成的角

设AD=2，则PF=，BF=

在直角△PFB中，tan∠PBF==．