热门试卷

解：由三视图可知，多面体是四棱锥P-ABCD，底面ABCD是直角梯形，侧棱PA⊥平面ABCD．且PA=2，AB=BC=1，AD=2．（1分）

如图以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系A-xyz．

由三视图可知，B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（3分）

设E（0，0，a），为平面EBD的法向量，

则，，

由，得．

令y=1，则．（4分）

又，且，

∴，

∴a= （5分）

∴在棱PA上存在点E，使得PC∥平面EBD，

此时PE：PA=1：3 （6分）

（Ⅱ）设分别为平面BPC和平面DPC的法向量，

又，

则由，得，

令z1=1，则．（9分）

同理．

∴．（11分）

由图可知二面角B-PC-D为钝二面角，

∴二面角B-PC-D的大小为．（12分）

（Ⅰ）证明：由题意可得，AB∥CD，CD⊄平面PAB，而AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．…（4分）

（Ⅱ）证明：因为PB=PC，O是BC的中点，所以PO⊥BC．

又侧面PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，面PBC∩底面ABCD=BC，

所以PO⊥平面ABCD．…（8分）

所以PO是棱锥的高，又AB=BC=2CD=2，PB=PC=3，PO===，

四棱锥P-ABCD的体积为 •SABCD•PO=（）PO=×2=．

（1）证明：如图所示，连接AC，AC交BD于点O，连接EO．

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．

在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO．

而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，

∴PA∥平面EDB；

（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC．

∵PD=DC，∴△PDC是等腰直角三角形．

又DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①

由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC．

又PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．

又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②

由①和②推得DE⊥平面PBC．

而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．

又EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD；

（3）解：以D点为原点建立如图所示的直角坐标系

设M点坐标为（1，a，0）（0≤a≤1），则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），

则，．

设平面PDB的一个法向量为，

由，取y=-1，得．

由||=||=，解得：a=或a=（舍）．

∴在线段AB上存在点M，使PM与平面PDB所成角的正弦值为，此时AM=．

（1）证明：连接D1C交DC1于F，连接EF，

在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形DCC1D1为矩形，

∴F为D1C的中点．

又E为BC的中点，∴EF∥D1B．

∴BD1∥平面C1DE．…（6分）

（2）解：连接BD，，

又△BCD的面积为．

故三棱锥D-D1BC的体积．…（12分）

证明：连接A1B交AB1于G点，连接FG

∵四边形ABB1A1为平行四边形∴A1G=BG

又∵A1F=C1F∴FG∥BC1

又∵FG⊂平面AFB1BC1⊄平面AFB1

∴BC1∥平面AFB1

解：（1）由三视图可得PA⊥面ABCD，且ABCD 为矩形，PA=，AB=，AD=2．

∵E，F分别为PB，PC中点，∴EF∥BC，∴EF∥AD，而 AD⊂平面PAD，EF不在平面PAD内，

故有 EF∥平面PAD．

（2）E到平面ABC的距离等于=，△ABC的面积为 =，

故三棱锥E-ABC的体积为•（ ）•=••=．

解：（I）证明：连接AC，由于E、F分别为PC、BD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，则EF为三角形CPA的中位线，

故有 EF∥PA．

再由PA⊂平面PAD，EF不在平面PAD内，可得EF∥平面PAD．

（Ⅱ）取AD得中点O，∵侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=，则PO垂直平面ABCD，且PO==1．

故三棱锥P-BCD的体积V=•S△BCD•PO=••1=．

（1）证明：如图，设H是AD的中点，可得GH=3，则GH=EF，

又∵GH∥CD，EF∥CD

∴GH∥EF，则EFHG为平行四边形，

故EG∥FH，

又∵FH⊂平面ADF

∴EG∥平面ADF；

（2）解：∵△ADF是以AD为斜边的等腰直角三角形．

∴FH⊥AD，

又∵平面ADF⊥平面ABCD

∴FH⊥平面ABCD，

∴EG⊥平面ABCD

∴∠EDG是直线DE与平面ABCD所成的角

∵∠ADC=120°，∴∠BAD=60°，

又∵AB=AD=2，∴BD=2∴∠ADB=60°，

又∵CD=4，由余弦定理

∴∠DBC=90°，，

∴

又∵EG=FH=1，∴，

∴

所以直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．