热门试卷

解：（1）沿EF将梯形ABCD翻折后，以EF所在直线为x轴，以EB所在直线为y轴，以EA所在的直线为z轴，建立空间坐标系，设EA=t，t∈（0，2）．

则A（0，0，t ），B（2-t，0，0 ），D（0，1，t），G（2-t，1，0）．

∴=（t-2，1，t），=（2-t，1，0）．

∵BD⊥EG，

∴=0，即-（t-2）2+1=0，解得 t=1 或t=3（舍去）．

故EA=1．

（2）在（1）的条件下，A（0，0，1 ），B（ 1，0，0 ），F（0，，0 ），D（0，1，1 ），

=（-1，1，1），=（-1，0 1），=（-1，，0 ）．

设平面ABF的法向量为=（a，b，1），由=0，=0，

解得 a=1，b=，故 =（1，，1）．

设BD与平面ABF所成角为θ，则 sinθ=cos＜，＞===，

∴θ=arcsin ．   

证明：（Ⅰ）取AC中点D，连接DS、DB．

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥SD且AC⊥DB，

∴AC⊥平面SDB，又SB⊂平面SDB，

∴AC⊥SB．

（Ⅱ）解：∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，

∴SD⊥平面ABC．

过D作DE⊥CM于E，连接SE，则SE⊥CM，

∴∠SED为二面角S-CM-A的平面角．

由已知有，所以DE=1，又SA=SC=2，AC=4，∴SD=2．

在Rt△SDE中，tan∠SED==2，

∴二面角S-CM-A的大小为arctan2，

∴二面角S-CM-B的大小为π-arctan2．

（Ⅲ）解：在Rt△SDE中，SE=，CM是边长为4正△ABC的中线，．

∴S△SCM=CM•SE=，

设点B到平面SCM的距离为h，

由VB-SCM=VS-CMB，SD⊥平面ABC，得S△SCM•h=S△CMB•SD，

∴h=．即点B到平面SCM的距离为．

（Ⅰ）证明：如图，连接CO，AC，则四边形ABCO为正方形，

所以OC=AB=A1B1，且OC∥AB∥A1B1，

故四边形A1B1CO为平行四边形，所以A1O∥B1C，

又A1O⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，所以A1O∥平面AB1C．…（5分）

（Ⅱ）解：因为D1A=D1D，O为AD的中点，所以D1O⊥AD，

又侧面ADD1A1⊥底面ABCD，交线为AD，

故D1O⊥底面ABCD．…（6分）

以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，则D1（0，0，1），A（0，-1，0），D（0，1，0），C（1，0，0），A1（0，-2，1），B（1，-1，0），，，，…（7分）

设平面AC1D1的法向量为，则，即，

解得，令y=1，得，…（10分）

设直线CC1与平面AC1D1所成角为θ，则

…（13分）

所以直线CC1与平面AC1D1所成角的正弦值为．…（14分）

（Ⅰ）证明：因为E，O分别为PA，AC的中点，

所以EO∥PC

又EO⊂平面BDE，PC⊄平面BDE．

所以PC∥平面BDE．

（Ⅱ）证明：连接OP，

因为PB=PD，

所以OP⊥BD．

在菱形ABCD中，BD⊥AC，

又因为OP∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．

又PH⊂平面PAC，所以BD⊥PH．

在直角三角形POB中，OB=1，PB=2，所以．

又，H为OC的中点，所以PH⊥OC．

又因为BD∩OC=O

所以PH⊥平面ABCD．

（Ⅲ）解：过点O作OZ∥PH，所以OZ⊥平面ABCD．

如图，以O为原点，OA，OB，OZ所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

可得，，B（0，1，0），，

，．

所以，，．

设=（x，y，z）是平面PAB的一个法向量，

则，即，

令x=1，则．．

设直线CE与平面PAB所成的角为θ，

．

所以直线CE与平面PAB所成角的正弦值为．

（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，SD⊂平面SAD

∴平面SAD⊥平面ABCD，

∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD

∴AB⊥平面SAD，

∵DE⊂平面SAD

∴DE⊥AB．…（3分）

∵SD=AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，

∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB

∴平面BED⊥平面SAB．…（6分）

（2）解：

作AF⊥BE，垂足为F．

由（1），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，所以∠AEF是直线SA与平面BED所成的角．…（8分）

设AD=2a，则AB=a，SA=2a，AE=a，△ABE是等腰直角三角形，则AF=a．

在Rt△AFE中，sin∠AEF==，∴∠AEF=45°

故直线SA与平面BED所成角的大小45°．…（12分）