热门试卷

解：（Ⅰ）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC

∴CC1⊥BM

又M是正△ABC的AC边的中点，

∴BM⊥AC∵CC1∩AC=C

∴BM⊥平面ACC1A1（3分）

∴∠BC1M为BC1与侧面ACC1A1所成角

又

∴sin∠BC1M=（5分）

所以BC1与侧面ACC1A1所成角为．

（Ⅱ）由已知得CC1⊥底面ABC，又CM⊥BM，

∴C1M⊥BM

∴∠C1MC为二面角C1-BM-C的平面角，

∴tan∠C1MC=4（9分）

（Ⅲ）证明：依题意得，，

∵MN2+C1M2=C1N2∴MN⊥C1M（11分）

又由（Ⅰ）中BM⊥平面ACC1A1知BM⊥MN，且C1M∩BM=M，

∴MN⊥平面BC1M∴MN⊥BC1（14分）

解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．

又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．

因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．

设AC∩BD=O，则PB在平面PAC的射影为PO，所以∠BPO即为所求

因为PA=AB=2，∠BAD=60°，

所以PB=2，BO=1

所以sin∠BPO==…（6分）

（2）因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=CO=

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，

则P（0，-，2），A（0，-，0），B（1，0，0），C（0，，0）．

所以=（1，，-2），=（0，2，0），

设PB与AC所成角为θ，则cosθ═=．…（12分）

解：如图建立空间直角坐标系，设平面BCE的法向量，

直线CC1与平面BCE所成角为θ：B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，2），C1（0，2，2）

∴-2μ+2ν=0…（2分）∴-ν+2ω=0…（4分）  

 令v=2，则…（6分）

∴sin=…（10分）

∴θ=arcsin

直线CC1与平面BCE所成角大小为…（12分）

（Ⅰ）证明：由题知AC=AA1=2，∠AA1C1=60°，

所以△AA1C1为正三角形，所以AC1=2，…（1分）

又因为AB=2，且∠BAC1=60°

所以△BAC1=60°为正三角形，…（2分）

又平行四边形A1ACC1的对角线相交于点O，所以O为AC1的中点，

所以BO⊥AC1…（3分）

又平面ABC1⊥平面A1ACC1，且平面ABC1∩平面A1ACC1=AC1，…（4分）

且BO⊂平面ABC1…（5分）

所以BO⊥平面A1ACC1…（6分）

（Ⅱ）解：连结A1B交AB1于E，取A1O中点F，连结EF，AF，

则EF∥BO，又BO⊥平面A1ACC1

所以EF⊥平面A1ACC1，所以EF⊥AF，…（7分）

所以直线AB1与平面A1ACC1所成角为∠EAF．…（8分）

而在等边△ABC1中，AB=2，所以BO=，EF=，

同理可知，A1O=，A1F=，

在△AA1F中，AF=…（10分）

所以Rt△EFA中，AE=，所以sin∠EAF=．

所以AB1与平面A1ACC1所成角所成角的正弦值为．…（12分）

解：（Ⅰ）证明：如图，

取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；

∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；

∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；

取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；

∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；

故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；

∴CD⊥AD，即AD⊥CD；

（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；

取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；

设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，），E（-，0，）；

=（2，2，0），=（1，0，）；

设平面PBD的法向量，则：

；

∴；

∴，取z=1，∴；

==（，0，-）；

设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：

sinθ=|cos＜，＞|==．