热门试卷

解：①如图，以点A为坐标原点O，以AB所成直线为Oy轴，

以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系．

由已知得A（0，0，0），B（0，a，0），，．

②坐标系如上，取A1B1的中点M，于是有，

连AM，MC1有=，

且=（0，a，0），=，

由•=0，•=0，

所以，MC1⊥面ABB1A1，

∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角．

∵=，=，

∴•=，==，=，

∴=，

所以，与所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°．

（Ⅰ）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），

∴=（0，1，1），=（1，0，-2），=（-1，-2，0）

设平面PCD的法向量是=（x，y，z），则

令z=1，则x=2，y=-1，于是

∵，∴，

∴AM∥平面PCD                          …（6分）

（Ⅱ）解：由点N是线段CD上的一点，可设

又面PAB的法向量为=（1，0，0）

设MN与平面PAB所成的角为θ

则===

∴ 时，即时，sinθ最大，

∴MN与平面PAB所成的角最大时                         …（13分）

（1）证明：如图，

取AB中点M，连结CM、OM，

∵AC=BC，∴CM⊥AB，

又∵OM∥BB1，∴OM⊥AB，

OM∩CM=M，OM，CM⊂平面OCM，

∴AB⊥平面OCM，∴AB⊥CO，

连结A1C，∵BC⊥AC，BC⊥CC1，

∴BC⊥平面A1ACC1，且AC1⊂平面A1ACC1，

∴BC⊥AC1，

又∵A1C⊥AC1，且A1C∩BC=C，A1C，BC⊂平面A1BC，

∴AC1⊥平面A1BC，CO⊂平面A1BC，∴CO⊥AC1，

AB∩AC1=A，又∵AB，AC1⊂平面ABC1，

∴CO⊥平面ABC1；

（2）解：连结MC1交CO于N，连结BN，

∵CO⊥面ABC1，∴∠CBN为BC与平面ABC1所成的角，

令AC=BC=CC1=a，

在Rt△C1CM中，C1C=a，CM=a，

∴MC1=a，

∵CN⊥MC1，∴CN•MC1=CM•CC1，∴CN==a，

∵CB=a，∴Rt△CBN中，sin∠CBN===，

∴直线BC与平面ABC1所成角的正弦值为．

解：（1）连接BD交AC于O，连接EO，

∵E、O分别为D1D、BD的中点，

∴EO∥D1B，

又EO⊂平面EAC，D1B⊄平面EAC，

∴D1B∥平面EAC．

（2）∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，

∴B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，

又∵在正方形ABCD中，BD⊥AC，

∴AC⊥平面BB1D1D．

又AC⊂平面EAC

∴平面EAC⊥BB1D1D．

（3）∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴BB1⊥平面A1B1C1D1

∴平面A1B1C1D1⊥平面BB1D1D，

平面A1B1C1D1∩平面BB1D1D=B1D1，

作FG⊥B1D1于G，∴FG⊥平面BB1D1D，

连接BG，∴BG是BF在平面BB1D1D上的射影，

∴∠FBG是直线BF与平面BB1D1D所成角．

设正方体棱长为a，在Rt△FGB1中，，

在Rt△BB1F中，，所以

即直线BF与平面BB1D1D所成角的正弦值为．

证明：（1）底面ABCD的图形中：AB=AD=4，CD=BC=4，AB⊥BC，

利用平面几何知识得出：BD=4，AC=8，BD⊥AC，

∵AB⊥BC，BC⊂平面ABCD，

平面PAB∩平面ABCD，

平面PAB⊥平面ABCD，

∴BC⊥平面PAB，

∵PA⊂平面PAB，

∴PA⊥BC，

∵PA⊥CD，BC∩CD=C，

∴PA⊥面ABCD，

又∵BD⊂面ABCD，

∴PA⊥BD，

又∵BD⊥AC，PA∩AC=A，

∴BD⊥面PAC，

∵PC⊂面PAC，

∴PC⊥BD；

（2）建立坐标系如图；A（0，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0），B（6，2，0），C（4，4，0），

∴=（6，2，-4），=（-2，2，0），=（0，4，-4），

设平面PBC的法向量为=（x1，y1，z1），

∵

∴

求解得出=（3，6），

∵与=（3，6），夹角为α，直线PD与平面PBC所成角为θ

则cosα==-，

∴直线PD与平面PBC所成角的正弦值sinθ=|cosα|=

解：（1）如图所示，设正四棱锥S-ABCD中，连结AC和BD交于O，连接SO．

∵SO⊥ABCD，可得OA是侧棱SA在底面ABCD内的射影

∴∠SAO就是侧棱SA与底面ABCD内的所成角

Rt△SOA中，SO=m，AO=AB=m

∴tan∠SAO==

因此，∠SAO=arctan，即侧棱与底面所成角等于arctan；

（2）作SP⊥AB于P，连接OP．

∵在Rt△SOP中，SO=（m），OP=BC=1（m），

∴SP==2（m），

则△SAB的面积S=×AB×SP=×2×2=2（m2）．

∴四棱锥的侧面积是4×2=8（m2），

即制造这个塔顶需要8m2铁板．

解：（1）如图，以D为原点，以DC直线为Y轴，以DA直线为Z轴，建立空间直角坐标系．

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），D1（0，0，1）…（2分）

∴=（-2，-2，1），=（-2，2，0），…（3分）

∴•=4-4=0，…（4分）

∴BD1⊥AC…（5分）

（2）∵=（-2，-2，0），

∴=4-4=0，

∴BD⊥AC，…（7分）

∵BD∩BD1=B，

∴是平面BB1D1D的法向量…（8分）

∴与所成角θ的余弦值的绝对值等于直线A1B与平面BB1D1D所成角的正弦值，

∵cosθ==-．…（9分）

∴直线A1B与平面BB1D1D所成角的正弦值为．…（10分）