热门试卷

（I）证明：∵EF∥平面ABCD，且EF⊂平面EFAB，

又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB，

∴EF∥AB，

又M，N是平行四形ABCD两边AD，BC的中点，

∴MN∥AB，

∴EF∥MN，

∴E，F，M，N四点共面．

∵FB=FC，

∴BC⊥FN，

又∵BC⊥AB，

∴BC⊥MN，

∵FN∩MN=N，

∴BC⊥平面EFNM，

∵BC⊂平面ABCD，

∴平面EFNM⊥平面ABCD；

（Ⅱ）解：在平面EFNM内F做MN的垂线，垂足为H，则由第（I）问可知：BC⊥平面EFNM，则平面ABCD⊥平面EFNM，∴FH⊥平面ABCD，

又∵FN⊥BC，HN⊥BC，∴二面角F-BC-A的平面角为∠FNH．

在Rt△FNB和Rt△FNH中，FN=，HNHN=FNcos∠FNH=2，∴FH=8，

过H做边AB，CD的垂线，垂足为S，Q，

以H为坐标原点，以HS，HN，HF方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则F（0，0，8），S（2，0，0），C（-2，2，0），D（-2，-4，0），

则=（2，2，-8），=（-2，2，-8），=（0，-6，0）

设平面EFCD的一个法向量为=（x，y，z），

则，取z=1，得=（-4，0，1），

设直线BF与平面EFCD所成角为θ，则sinθ==．

证明：方法一：（Ⅰ）因为CC1∥AA1且正方形中AA1⊥A1B1，所以CC1⊥A1B1，

取A1B1中点E，则HE∥BB1∥CC1且，又D为CC1的中点，

所以，得平行四边形HEDC，

因此CH∥DE，又CH⊥平面AA1B1B，

得CH⊥HE，DE⊥HE，所以DE⊥CC1∴CC1⊥平面A1B1D（6分）

解：（Ⅱ）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K

因为CH∥DE，CF∥A1D，所以平面CFH∥平面A1B1D，由（Ⅰ）得CC1⊥平面A1B1D，

所以CC1⊥平面CFH，又HK⊂平面CFH，所以HK⊥CC1，又HK⊥CF，得HK⊥平面AA1C1C，所以DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK（10分）

在Rt△CFH中，，

在Rt△DHK中，由于DH=2，（14分）

方法二：（向量法）

证明：（Ⅰ）如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，

则C（0，0，），C1（），A1（），B1（0，，0），

所以，，

∴，，

因此CC1⊥平面A1B1D；（6分）

解：（Ⅱ）设平面AA1C1C的法向量，由于

则，

得，所以（10分）

又，所以（14分）

解：（1）由题意可知C（0，0，0），A1（1，0，2），B1（0，1，2）

故…（3分）

设为平面A1B1C的法向量，则，…（5分）…（7分）

，令z0=1，则…（9分）

（2）设直线AC与平面A1B1C夹角为θ，…（10分）

sinθ==…（14分）

解：（Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M，N，连接MN、ME、NF，则NF∥AD，且NF=，ME∥AD，且ME=，所以NF∥ME，且NF=ME所以四边形MNFE为平行四边形；

∴EF∥MN，又EF⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB；

（Ⅱ）由已知：底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直；

如图所示，以A为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，所以：

P（0，0，1），A（0，0，0，），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），；

∴，；

设平面ABE法向量，则；

∴令b=1，则c=-1，a=0；

∴为平面ABE的一个法向量；

设直线EF与平面ABE所成角为α，于是：

；

所以直线EF与平面ABE所成角为．

（I）证明：设PA=PB=AB=AD=1，则

BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos60°=3，

故BD2+AB2=AD2，∴BD⊥AB

而平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，

∴BD⊥平面PAB；              …（4分）

（II）证明：设点G是PB的中点，连结AG，FG，

则FG∥BC∥AE，FG=BC=AE

∴四边形AEFG是平行四边形

故AG∥EF                   …（6分）

∵BD⊥平面PAB，∴平面PBD⊥平面PAB，

在正三角形PAB中，AG⊥PB，故AG⊥平面PBD，…（7分）

而AG∥EF，∴EF⊥平面PBD                …（8分）

（Ⅲ）解：连结GD，由（ II）知：AG⊥平面PBD，

故∠ADG就是直线AD与平面PBD所成的角          …（10分）

∵AB=2，AD=4，在正三角形PAB中，AG=，

∴sin∠ADG==，故所求角的正弦值为 …（12分）

（1）证明：取CD的中点G，连接AG、GF，

则GF∥DE，

∵AC=AD，∴AG⊥GD，

∵DE⊥平面ACD，∴DE⊥CD，

∴GF⊥CD，

∴CD⊥平面AGF．

∵AF⊂平面AGF，∴AF⊥CD；

（2）解：法一、如图建立空间直角坐标系G-xyz，

则B（0，1，），C（-1，0，0），E（1，2，0），

，

设平面CBE的法向量为，

则，取x=1，则，

∴．

∴直线AC与平面CBE所成角的大小的正弦值为．

解法二、∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE．

延长DA、EB交于点P，连结PC，

∵AB=1，DE=2，∴A为PD的中点，

又G为CD的中点，∴PC∥AG．

∴PC⊥CD，PC⊥DE，∴PC⊥平面CDE．

∵点A到平面PCE的距离即为点D到平面PCE的距离的一半，即．

设直线AC与平面CBE所成角为θ，

则．