- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
如图1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值．
正确答案
∴AD⊥DE∴A1D⊥DE．
又A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．
由BC⊂面BCDE，
∴A1D⊥BC．BC⊥CD，A1D∩CD=D，
∴BC⊥面A1DC；
（2）解：以D为原点，分别以
在直角梯形CDEB中，过E作EF⊥BC，EF=2，BF=1，BC=3，
∴B（3，0，-2），E（2，0，0），C（0，0，-2），A1（0，4，0），
∴
设平面A1BC的法向量为
∴
设BE与平面A1BC所成角为θ，∴
解析
∴AD⊥DE∴A1D⊥DE．
又A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．
由BC⊂面BCDE，
∴A1D⊥BC．BC⊥CD，A1D∩CD=D，
∴BC⊥面A1DC；
（2）解：以D为原点，分别以
在直角梯形CDEB中，过E作EF⊥BC，EF=2，BF=1，BC=3，
∴B（3，0，-2），E（2，0，0），C（0，0，-2），A1（0，4，0），
∴
设平面A1BC的法向量为
∴
设BE与平面A1BC所成角为θ，∴
（1）AC⊥BE．
（2）三棱锥A-BEF的体积为定值．
（3）在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．
（4）过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．以上结论中正确的序号是______．
正确答案
（1）（2）（3）（4）
解析
解：（1）AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；
（2）三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；
（3）固定直线B1D1的B1点，让点D1沿着D1D的方向向下移动，会与直线AC相交于一点，同理让B1变动一下位置到P点，让点D1沿着D1D的方向向下移动，也可以得到与直线AC相交于一点的直线，因此在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．
（4）取CC1的中点P，B1D1的中点O1，BD的中点O2，O1O2的中点O．
连接OP、PO2．则OP⊥平面DBB1D1，PO2∥AC1．在平面DBB1D1内，以点O为
圆心，
2条，因此正确．
综上可知：（1）（2）（3）（4）都正确．
故答案为：（1）（2）（3）（4）．
二面角α-EF-β是直二面角，C∈EF，AC⊂α，BC⊂β，∠BCF=45°，∠ACB=60°，则AC与平面β所成的角等于（ ）
正确答案
解析
解：如图，在AC上取一点G，
∵二面角α-EF-β是直二面角，∴α⊥β
∵α∩β=EF，GD⊂α，GD⊥EF，
∴GD⊥平面β，
∴∠GCD是直线AC与平面β所成的角，
∵BC⊂平面β，∴BC⊥GD
又∵BC⊥DH，GD∩DH=D，GD、DH⊂平面GDH
∴BC⊥平面GDH
∵GH⊂平面GDH，∴BC⊥GH，
Rt△CGH中，∠GCH=60°，设CH=1，则CG=
Rt△CDH中，∠DCH=45°，得CD=
∴Rt△GCD中，cos∠GCD=
即AC与平面β所成的角等于45°
故选C
在空间直角坐标系中，若一条直线与三条坐标面所成的角都相等，则这个角的余弦值为______．
正确答案
解析
解：设直线的方向向量为（x，y，z），三个坐标面的法向量分别为：（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），
因为直线与三条坐标面所成的角都相等，所以（x，y，z）（1，0，0）=（x，y，z）（0，1，0）=（x，y，z）（0，0，1），
所以x=y=z，取x=1，则直线的一个方向向量为（1，1，1），
因为一条直线与三条坐标面所成的角都相等，则这个角的余弦值为直线方向向量与坐标平面的法向量夹角的正弦值，
而直线方向向量与坐标平面的法向量夹角的余弦值为
故答案为：
（1）求BC1与侧面AC C1 A1所成角的正弦值；
（2）证明：MN⊥B C1；
（3）求二面角C-C1B-M的平面角的正弦值，若在△A1B1C1中，
正确答案
（1）解：在等边三角形ABC中，M为AC中点，BM⊥AC，
在正三棱柱中，C1 C⊥面ABC，BM⊂面ABC，∴C1 C⊥BM，
又 C1 C∩AC=C，BM⊂面ABC，
则BM⊥面 A1 C1CA，
∠M C1 B为 B C1与面 A1 C1CA所成角．
在 Rt△C1CB中，B C1=
则在 Rt△M C1 B中，sin∠M C1 B=
（2）连接 N C1，在 Rt△AMN中，由勾股定理可得
同理在 Rt△M C1 C中，
∴
又BM⊥面 A1 C1CA，MN⊂面 A1 C1CA，则BM⊥MN，
又 M C1∩MB=M，∴MN⊥面 M C1 B，
又 B C1⊂面 M C1 B，则MN⊥B C1．
（3）作AD⊥BC，ME‖AD，此时由于M为AC中点，则DE=EC，
在正三棱柱中，C1 C⊥面ABC，ME⊂面ABC，则 C1 C⊥ME，BC∩C1C=C，BC，C1 C均⊂面BC C1，ME⊥面BC C1，
作EH⊥B C1，连接MH，由三垂线定理得 B C1⊥MH，∴∠MHE为二面角C-C1B-M的平面角．
在△MB C1中，由
在 Rt△MEH中，
设
∵
∴
化为
∴
∴
∵
∴
解析
（1）解：在等边三角形ABC中，M为AC中点，BM⊥AC，
在正三棱柱中，C1 C⊥面ABC，BM⊂面ABC，∴C1 C⊥BM，
又 C1 C∩AC=C，BM⊂面ABC，
则BM⊥面 A1 C1CA，
∠M C1 B为 B C1与面 A1 C1CA所成角．
在 Rt△C1CB中，B C1=
则在 Rt△M C1 B中，sin∠M C1 B=
（2）连接 N C1，在 Rt△AMN中，由勾股定理可得
同理在 Rt△M C1 C中，
∴
又BM⊥面 A1 C1CA，MN⊂面 A1 C1CA，则BM⊥MN，
又 M C1∩MB=M，∴MN⊥面 M C1 B，
又 B C1⊂面 M C1 B，则MN⊥B C1．
（3）作AD⊥BC，ME‖AD，此时由于M为AC中点，则DE=EC，
在正三棱柱中，C1 C⊥面ABC，ME⊂面ABC，则 C1 C⊥ME，BC∩C1C=C，BC，C1 C均⊂面BC C1，ME⊥面BC C1，
作EH⊥B C1，连接MH，由三垂线定理得 B C1⊥MH，∴∠MHE为二面角C-C1B-M的平面角．
在△MB C1中，由
在 Rt△MEH中，
设
∵
∴
化为
∴
∴
∵
∴
（Ⅰ）若点G在线段AB上，且BG=3GA，求证：CG∥平面ADF；
（Ⅱ）求直线DE与平面ADF所成的角的正弦值．
正确答案
解：（Ⅰ）分别取AB，AF的中点M，H，连结MF，GH，DH，
则有
∵AH=HF，
∴
又∵
∴
∴四边形CDHG是平行四边形
∴CG∥DH…（4分）
又∵CG⊄平面ADF，DH⊂平面ADF
∴CG∥平面ADF…（6分）
（Ⅱ）如图，以B为原点，分别以BC，BE，BA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．
∵AB=BE=2，BC=CD=EF=1，
∴A（0，0，2），C（1，0，0），D（1，1，0），
E（0，2，0），F（0，2，1），
∴
设平面ADF的一个法向量
则有
令y=1，得
设直线CG与平面ADF所成的角为θ，
则有
解析
解：（Ⅰ）分别取AB，AF的中点M，H，连结MF，GH，DH，
则有
∵AH=HF，
∴
又∵
∴
∴四边形CDHG是平行四边形
∴CG∥DH…（4分）
又∵CG⊄平面ADF，DH⊂平面ADF
∴CG∥平面ADF…（6分）
（Ⅱ）如图，以B为原点，分别以BC，BE，BA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．
∵AB=BE=2，BC=CD=EF=1，
∴A（0，0，2），C（1，0，0），D（1，1，0），
E（0，2，0），F（0，2，1），
∴
设平面ADF的一个法向量
则有
令y=1，得
设直线CG与平面ADF所成的角为θ，
则有
正确答案
解析
解：设
则{
又
∴PA⊥AB，PA⊥AD，且AB⊥AD，
∴
∴
∴MN⊥DC，MN⊥PD；
又DC∩PD=D，
∴MN⊥平面PCD；
∴MN与平面PCD所成角的大小为90°．
故选：D．
（Ⅰ）在BC1上确定一点E，使得OE∥平面A1ABB1，并说明理由；
（Ⅱ）求直线BC1与平面A1BC所成角的正切值．
正确答案
解：（1）如图，设E是BC1中点，
取AB中点D，BB1中点F，连接
OD，DF，EF，，在△ABC中OD是中位线，OD∥BC，OD=
∴ODFE是平行四边形，∴OE∥DF
∵OE⊄面A1ABB1，DF⊂面A1ABB1∴OE∥平面A1ABB1．
（2）如图，作C1H垂直 A1C于H连接HB，
∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C∩底面ABC=AC，AC⊥CB
∴BC⊥面AA1C1C，∵BC⊂面A1BC，∴面A1BC⊥面AA1C1C，且面A1BC∩面AA1C1C=A1C
∴C1H⊥面A1BC，∴∠C1BH为直线BC1与平面A1BC所成角．
∵△A1C1C是边长为2 的正三角形∴，H为A1C的中点 C1H=
在直角三角形BCA1中，
BH=
tan∠C1BH=
解析
解：（1）如图，设E是BC1中点，
取AB中点D，BB1中点F，连接
OD，DF，EF，，在△ABC中OD是中位线，OD∥BC，OD=
∴ODFE是平行四边形，∴OE∥DF
∵OE⊄面A1ABB1，DF⊂面A1ABB1∴OE∥平面A1ABB1．
（2）如图，作C1H垂直 A1C于H连接HB，
∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C∩底面ABC=AC，AC⊥CB
∴BC⊥面AA1C1C，∵BC⊂面A1BC，∴面A1BC⊥面AA1C1C，且面A1BC∩面AA1C1C=A1C
∴C1H⊥面A1BC，∴∠C1BH为直线BC1与平面A1BC所成角．
∵△A1C1C是边长为2 的正三角形∴，H为A1C的中点 C1H=
在直角三角形BCA1中，
BH=
tan∠C1BH=
（2）则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影的面积为______．
正确答案
解析
解：（1）因为已知是正方体，连接AC，容易得到AC⊥平面BDD1B1，M、N分别是BB1，BC的中点，
过N作NQ∥AC，则NQ⊥平面BDD1B1，所以直线MN与平面BDD1B1所成的角为∠NMQ；
其中MN=
（2）图中阴影部分MND在平面ADD1A1上的投影为EFD的面积，其中E，F分别是AA1，AD的中点，所以其面积为
如图
故答案为：（1）
（Ⅰ）求证：A′D⊥平面A′EC；
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′EC所成角的正弦值．
正确答案
解：（Ⅰ）证明：连接CE，A′M，如图所示；
设BC=1，则AB=2，AE=BE=1，
∵AE=AD，且∠A=90°，M为DE的中点，∴AM⊥DE，
∴∠DA′E=90°，
A′M⊥DE；
又∵平面A′DE⊥平面ABCD，平面A′DE∩平面ABCD=DE，∴A′M⊥平面ABCD，
∴A′M⊥CE；
又∵A′E∩CE=E，∴DA′⊥平面A′EC；
（Ⅱ） 作MH⊥A′E于点H，连接HF，则MH∥DA′，FH∥CE；
由（Ⅰ）知，DA′⊥平面A′EC，∴MH⊥平面A′EC，
∴∠MFH为MF与平面A′EC所成的角，
∴tan∠MFH=
∴sin∠MFH=
解析
解：（Ⅰ）证明：连接CE，A′M，如图所示；
设BC=1，则AB=2，AE=BE=1，
∵AE=AD，且∠A=90°，M为DE的中点，∴AM⊥DE，
∴∠DA′E=90°，
A′M⊥DE；
又∵平面A′DE⊥平面ABCD，平面A′DE∩平面ABCD=DE，∴A′M⊥平面ABCD，
∴A′M⊥CE；
又∵A′E∩CE=E，∴DA′⊥平面A′EC；
（Ⅱ） 作MH⊥A′E于点H，连接HF，则MH∥DA′，FH∥CE；
由（Ⅰ）知，DA′⊥平面A′EC，∴MH⊥平面A′EC，
∴∠MFH为MF与平面A′EC所成的角，
∴tan∠MFH=
∴sin∠MFH=
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