热门试卷

解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，

∴AC==

∵三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC

∴CC1⊥AC，得四边形AA1C1C为矩形，

∵AA1=AC=，可得四边形AA1C1C为正方形

∴AC1⊥A1C，

∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥C1C，且A1C1∩C1C=C1，

∴B1C1⊥平面AA1C1C，

∵A1C⊂平面AA1C1C，∴B1C1⊥A1C

∵B1C1、AC1是平面AB1C1内的相交直线，∴A1C⊥平面AB1C1；

（2）设AC1、A1C的交点为O，连结B1O

∵A1C⊥平面AB1C1，即A10⊥平面AB1C1，∴∠A1B1O就是A1B1与平面AB1C1所成的角

∵正方形AA1C1C的边长AC=，∴A10=AC=

∵Rt△A1B1C1中，A1B1=AB=3，

∴sin∠A1B1O==，即A1B1与平面AB1C1所成的角的正弦值等于．

解：（I）如图所示，作SO⊥平面ABCD，垂足为O点．

∵SA=SC=SD，∴O点为△ACD的外心．

∴∠ADC=90°．

∴O点为斜边AC的中点．

∴DO⊥AC，SO⊥AC．

∵SO∩OD=O，

∴AC⊥平面SOD，

∴AC⊥SD；

（II）连接OB，由（I）可得：∠SBO为SB与平面ABCD所成的角．

∵AD=DC=，∠ADC=90°．

∴∠DAC=45°=∠ACD，AC=2．

∴SO=．

∵∠BAD=135°，∴∠BAC=90°，

∵BC∥AD，∴∠BCD=90°．

∴∠ACB=45°．

∴AB=AC=2．

∴OB===．

∴∠ABC=45°．

∴SB与平面ABCD所成的角为45°．

解：（1）证明：取AC中点O，连接PO、BO．

∵PA=PC∴PO⊥AC

又∵侧面PAC⊥底面ABC

∴PO⊥底面ABC

又PA=PB=PC∴AO=BO=CO

∴△ABC为直角三角形∴AB⊥BC

（2）解：取BC的中点为M，连接OM，PM，所以有OM=AB=，AO=

∴

由（1）有PO⊥平面ABC，OM⊥BC，由三垂线定理得PM⊥BC

∴平面POM⊥平面PBC，又∵PO=OM=．

∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中点N，连接ON，NC

则ON⊥PM，又∵平面POM⊥平面PBC，且交线是PM，∴ON⊥平面PBC

∴∠OCN即为AC与平面PBC所成的角.

∴∴．

故AC与平面PBC所成的角为．

解：（1）证明：连接AC，BD交于O，连OF

∵F为DE中点，O为BD中点，

∴OF∥BE，OF⊂平面ACF，BE⊄平面ACF，

∴BE∥平面ACF．…（6分）

（2）过E作EH⊥AD于H，连接BH，

∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，

∴AE⊥CD，

∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD、AE⊂平面DAE，

∴CD⊥平面DAE，EH⊂平面DAE，

∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，

AD⊂平面ABCD，EH⊥平面ABCD，BH为BE在平面ABCD内的射影，

∴∠EBH为BE与平面ABCD的所成角的平面角，

在RT△EHB，由勾股定理得底面ABCD的边长AD=5．

又∵CD∥AB，∴AB⊥平面DAE，∴△ABE为直角三角形，∴BE==，

∴，且，

在RT△EHB中，．

直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为．…（14分）