直线、平面平行的判定及其性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题

A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2．

（1）求证：AB⊥CD；

（2）求AB与平面BCD所成角的余弦值．

正确答案

（1）证明：∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2．

∴△ABC≌△ABD，BC=BD．

取CD的中点M，连接AM，BM，则CD⊥AM，CD⊥BM，

又AM∩BM=M，∴CD⊥平面ABM，

∴AB⊥CD．

（2）解：过点A作AO⊥BM于点O，∵CD⊥平面ABM，

∴平面BCD⊥平面ABM，

∴AO⊥平面BCD，

∴∠ABO是AB与平面BCD所成角．

在△ABC中，BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos∠BAC=7，

∴BC=．

∵△ACD是等边三角形，∴AM=．

在RT△BCM中，=．

在△ABM中，由余弦定理可得：cos∠ABM==．

解析

（1）证明：∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2．

∴△ABC≌△ABD，BC=BD．

取CD的中点M，连接AM，BM，则CD⊥AM，CD⊥BM，

又AM∩BM=M，∴CD⊥平面ABM，

∴AB⊥CD．

（2）解：过点A作AO⊥BM于点O，∵CD⊥平面ABM，

∴平面BCD⊥平面ABM，

∴AO⊥平面BCD，

∴∠ABO是AB与平面BCD所成角．

在△ABC中，BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos∠BAC=7，

∴BC=．

∵△ACD是等边三角形，∴AM=．

在RT△BCM中，=．

在△ABM中，由余弦定理可得：cos∠ABM==．

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题型：简答题

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简答题

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为棱CD上的一点，且三棱锥A-CPD1的体积为．

（1）求CP的长；

（2）求直线AD与平面APD1所成的角θ的正弦值；

（3）请直接写出正方体的棱上满足C1M∥平面APD1的所有点M的位置，并任选其中的一点予以证明．

正确答案

解：（1）依题意得，AD⊥平面CPD，AD=DD1=2，

所以三棱锥A-CPD1的体积为×2=，

CP=1，

（2）以A为原点，AB，AD，AA1，所在直线分别为x，y，z轴，建立坐标系，

A（0，0，0），D（0，2，0），P（1.2，0），D1（0，2，2），

=（0，2，0），=（1，2，0），=（0，2，2），

设平面APD1的一个法向量为=（x，y，z），

则

∴得出

∴=（2，-1，1），

即sinθ===，

故直线AD与平面APD1所成的角θ的正弦值为．

（3）∵M点的位置为A1B1中点，

可知C1（2，2，2），M（1，0，2），=（-1，-2，0），

∴平面APD1的一个法向量为=（2，-1，1），

∴=0，

∵C1M⊄平面APD1，

∴C1M∥平面APD1

解析

解：（1）依题意得，AD⊥平面CPD，AD=DD1=2，

所以三棱锥A-CPD1的体积为×2=，

CP=1，

（2）以A为原点，AB，AD，AA1，所在直线分别为x，y，z轴，建立坐标系，

A（0，0，0），D（0，2，0），P（1.2，0），D1（0，2，2），

=（0，2，0），=（1，2，0），=（0，2，2），

设平面APD1的一个法向量为=（x，y，z），

则

∴得出

∴=（2，-1，1），

即sinθ===，

故直线AD与平面APD1所成的角θ的正弦值为．

（3）∵M点的位置为A1B1中点，

可知C1（2，2，2），M（1，0，2），=（-1，-2，0），

∴平面APD1的一个法向量为=（2，-1，1），

∴=0，

∵C1M⊄平面APD1，

∴C1M∥平面APD1

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题型：简答题

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简答题

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为正三角形，且E，F分别为AD，AB的中点，PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面PEB；

（Ⅱ）求EF与平面PDC所成角的正弦值．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD，

∴PE⊥AD，BE⊥AD，

∵PE∩BE=E，

∴AD⊥平面PEB，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD∥BC，

∴BC⊥平面PEB；

（Ⅱ）解：以E为原点，建立如图所示的坐标系，则

不妨设菱形ABCD的边长为2，则．

则点.．

设平面PDC的法向量为=（x，y，z）．

则由解得

不妨令z=1，得=（-，-1，1），

又，

所以EF与平面PDC所成角的正弦值为||=．…（9分）

解析

（Ⅰ）证明：∵PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD，

∴PE⊥AD，BE⊥AD，

∵PE∩BE=E，

∴AD⊥平面PEB，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD∥BC，

∴BC⊥平面PEB；

（Ⅱ）解：以E为原点，建立如图所示的坐标系，则

不妨设菱形ABCD的边长为2，则．

则点.．

设平面PDC的法向量为=（x，y，z）．

则由解得

不妨令z=1，得=（-，-1，1），

又，

所以EF与平面PDC所成角的正弦值为||=．…（9分）

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题型：单选题

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单选题

已知从一点P引出三条射线PA、PB、PC，且两两成60°角，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：过PC上一点D作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．

因为∠APC=∠BPC=60°，所以点O在∠APB的平分线上，即∠OPE=30°．

过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，因为DO⊥平面APB，则DE⊥PA，DF⊥PB．

设PE=1，∵∠OPE=30°∴OP==．

在直角△PED中，∠DPE=60°，PE=1，则PD=2．

在直角△DOP中，OP=，PD=2．则cos∠DPO==．

即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

如图，三棱柱ABC=A1B1C1的侧棱A1A垂直于底面ABC，A1A=2，AC=CB=1，∠BCA=90°，M、N分别是AB、A1A的中点．

（1）求证：A1B⊥CM；

（2）求直线BN与平面A1BC所成角正弦值．

正确答案

（1）证明：∵M为AB的中点，AC=CB，∴CM⊥AB，

又∵AA1⊥面ABC，CM⊂面ABC，

∴AA1⊥CM

∵AB∩AA1=A，∴CM⊥面AA1B1B，

∵CM⊂面AA1B1B，

∴CM⊥A1B-------------（6分）

（2）解：过N作NH⊥A1C交A1C于H，

∵∠BCA=90°，∴BC⊥面AA1C1C

∴BC⊥NH，

∴NH⊥面A1BC，则∠NBH为所求的角

在直角△NBH中，--------------（12分）

解析

（1）证明：∵M为AB的中点，AC=CB，∴CM⊥AB，

又∵AA1⊥面ABC，CM⊂面ABC，

∴AA1⊥CM

∵AB∩AA1=A，∴CM⊥面AA1B1B，

∵CM⊂面AA1B1B，

∴CM⊥A1B-------------（6分）

（2）解：过N作NH⊥A1C交A1C于H，

∵∠BCA=90°，∴BC⊥面AA1C1C

∴BC⊥NH，

∴NH⊥面A1BC，则∠NBH为所求的角

在直角△NBH中，--------------（12分）

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题型：简答题

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简答题

如图，已知三棱柱P-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC的中点．

（1）求证；A1B∥平面AMC1；

（2）求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值．

正确答案

（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OM．

∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，

∴四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．

又∵M为BC中点，

∴OM为△A1BC中位线，

∴A1B∥OM，

∵OM⊂平面AMC1，A1B⊄平面AMC1，

∴A1B∥平面AMC1．

（2）解：由ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，

故BA，BC，BB1两两垂直．可建立如图空间直角坐标系B-xyz．

设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C1（2，0，1），M（1，0，0）．

则=（1，-2，0），=（2，-2，1），

设平面AMC1的法向量为=（x，y，z），则有

所以取y=1，得=（2，1，-2）．

又∵=（0，0，1）

∴直线CC1与平面AMC1所成角θ满足sinθ==

故直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值为．

解析

（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OM．

∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，

∴四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．

又∵M为BC中点，

∴OM为△A1BC中位线，

∴A1B∥OM，

∵OM⊂平面AMC1，A1B⊄平面AMC1，

∴A1B∥平面AMC1．

（2）解：由ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，

故BA，BC，BB1两两垂直．可建立如图空间直角坐标系B-xyz．

设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C1（2，0，1），M（1，0，0）．

则=（1，-2，0），=（2，-2，1），

设平面AMC1的法向量为=（x，y，z），则有

所以取y=1，得=（2，1，-2）．

又∵=（0，0，1）

∴直线CC1与平面AMC1所成角θ满足sinθ==

故直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值为．

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题型：简答题

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简答题

（理）如图，单位正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别是棱C1D1和B1C1的中点，试求：

（Ⅰ）AF与平面BEB1所成角的余弦值；

（Ⅱ）点A到面BEB1的距离．

正确答案

解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．

则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），，．

∴，，．

设平面BEB1的法向量为，

则，即，取y=2，则x=-1，z=0．

∴，

设AF与平面BEB1所成的角为θ，．

则===，

∴=．

（2）由（1）可得平面BEB1的法向量，．

∴点A到面BEB1的距离d===．

解析

解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．

则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），，．

∴，，．

设平面BEB1的法向量为，

则，即，取y=2，则x=-1，z=0．

∴，

设AF与平面BEB1所成的角为θ，．

则===，

∴=．

（2）由（1）可得平面BEB1的法向量，．

∴点A到面BEB1的距离d===．

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题型：单选题

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单选题

已知点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一动点，且满足|PA|=2|PB|，设PD1与平面ABCD所成角为θ，则θ的最大值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：以B为原点，BC，BA，BB1，分别为x、y、z轴建立空间坐标系，设P（x，y，z），A（0，2，0），|PA|=2|PB|，∴=∴，∴点P的轨迹为：以点Q为球心，以半径为的球与正方体表面的交线，即为如图的弧段EMG，GSF，FNE，

要使得PD1与底面ABCD所成角最大，则PD1与底面ABCD

的交点R与点D的距离最短，从而点P在弧段ENF上，故

点P在弧段ENF上，且在QD上．设正方体的边长为2，从而DQ=，从而tanθ最大值为1，故θ最大值为．

故选B

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题型：简答题

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简答题

如图，已知三棱锥P-ABC，平面PAC⊥平面ABC，AB=BC=CA=4，PA=2，PC=2，D是AB的中点，CE=BC，F是PD的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PAC；

（Ⅱ）求直线EF与平面ABC所成角的正切值；

（Ⅲ）在CB是否存在一点使平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为，若存在，求出CG的长，若不存在，请说明理由．

正确答案

（I）证明：取PA的中点K，作ER∥AB交AC于R，连接FK，RK．

则KF∥AD，ER∥AD，又RG=AB==KF，

∴四边形KFRE是平行四边形，

∴EF∥KR，EF⊄平面PAC，KR⊂平面PAC，

∴EF∥平面PAC．

（II）在△ACP中，AP2+CP2==42=AC2，∴∠APC=90°．

∴，∴∠PAC=30°．

在△AKR中，AK=，=3．

由余弦定理可得：KR2=AK2+AR2-2AK•ARcos∠KAR=+32-=3，

∴KR=．

∴∠ARK=∠KAR=30°．

∵平面PAC⊥平面ABC，∴∠ARK为KR与平面ABC所成的角，

∵EF∥KR，

∴∠ARK即为直线EF与平面ABC所成的角，

∵tan∠ARK=，∴直线EF与平面ABC所成角的正切值为．

（III）如图所示，取AC的中点O为坐标原点，OA，OB分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系．

假设在CB存在一点G使平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为．A（2，0，0），B，C（-2，0，0），

D．

设，则=+=+λ=．

过点P作PM⊥AC，则PM⊥平面ABC．M（-1，0，0），

P．∴F，

∴=，=，

设平面DGF的法向量为=（x，y，z），则，即，

当时，x=0，取y=1，则z=1．

∴=（0，1，1），取平面ABC的法向量=（0，0，1）．满足=，

即平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为．

∴在CB存在一点G为BC的中点，使平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为．

解析

（I）证明：取PA的中点K，作ER∥AB交AC于R，连接FK，RK．

则KF∥AD，ER∥AD，又RG=AB==KF，

∴四边形KFRE是平行四边形，

∴EF∥KR，EF⊄平面PAC，KR⊂平面PAC，

∴EF∥平面PAC．

（II）在△ACP中，AP2+CP2==42=AC2，∴∠APC=90°．

∴，∴∠PAC=30°．

在△AKR中，AK=，=3．

由余弦定理可得：KR2=AK2+AR2-2AK•ARcos∠KAR=+32-=3，

∴KR=．

∴∠ARK=∠KAR=30°．

∵平面PAC⊥平面ABC，∴∠ARK为KR与平面ABC所成的角，

∵EF∥KR，

∴∠ARK即为直线EF与平面ABC所成的角，

∵tan∠ARK=，∴直线EF与平面ABC所成角的正切值为．

（III）如图所示，取AC的中点O为坐标原点，OA，OB分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系．

假设在CB存在一点G使平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为．A（2，0，0），B，C（-2，0，0），

D．

设，则=+=+λ=．

过点P作PM⊥AC，则PM⊥平面ABC．M（-1，0，0），

P．∴F，

∴=，=，

设平面DGF的法向量为=（x，y，z），则，即，

当时，x=0，取y=1，则z=1．

∴=（0，1，1），取平面ABC的法向量=（0，0，1）．满足=，

即平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为．

∴在CB存在一点G为BC的中点，使平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为．

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题型：简答题

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简答题

在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且EB=AB=2，CD=1，

（1）求二面角D-AB-C的正切值

（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

正确答案

解：（1）等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC．

又BE和CD都垂直于平面ABC，∴AB⊥BE，∴AB⊥平面BEDC，∴∠DBC为二面角D-AB-C的平面角．

直角三角形BCD中，由EB=AB=2，CD=1，可得tan∠DBC==．

（2）由于DB=DE=，故△DBE为等腰三角形，取BE得中点N，则DN⊥BE．

由（1）AB⊥平面BEDC，可得平面ABE⊥平面BEDC，且平面ABE和平面BEDC 的交线为BE，

故DN⊥平面ABE，∠DAN即为AD与平面ABE所成角．

sin∠DAN===．

解析

解：（1）等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC．

又BE和CD都垂直于平面ABC，∴AB⊥BE，∴AB⊥平面BEDC，∴∠DBC为二面角D-AB-C的平面角．

直角三角形BCD中，由EB=AB=2，CD=1，可得tan∠DBC==．

（2）由于DB=DE=，故△DBE为等腰三角形，取BE得中点N，则DN⊥BE．

由（1）AB⊥平面BEDC，可得平面ABE⊥平面BEDC，且平面ABE和平面BEDC 的交线为BE，

故DN⊥平面ABE，∠DAN即为AD与平面ABE所成角．

sin∠DAN===．

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