热门试卷

解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．

由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，

可知AN=NB且AN⊥NB．

又AN为AC在平面ABN内的射影．

∴AC⊥NB

（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，

由中垂线的性质可得AN=BN，

∴Rt△CAN≌Rt△CNB，

∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，

因此△ABC为正三角形．

∵Rt△ANB≌Rt△CNB，

∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，

连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．

在Rt△NHB中，cos∠NBH===．

（1）证明：取PD中点M，连结AM，FM，

∵MF∥CD，MF=CD，AE∥CD，AE=CD，

∴MF∥AE，MF=AE，

∴四边形AEFM为平行四边形

所以AM∥EF，AM⊂平面PAD，

∴EF∥平面PAD

（2）解：连结AM，CM，由条件知AM⊥PD，CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AM，PD∩CD=D

所以AM⊥平面PCD，

∴∠ACM就是直线AC与平面PCD所成的角

经计算得AM=，

∴sin∠ACM=．

证明：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，则B（，1，0），A（，0，1），D1（0，0，1），C（0，1，0），M（，0，0），N（，1，1），

∴=（，-1，0），=（，-1，0），

∴=，

∴NA1∥CM；

（2）∵=（，1，-1），=（0，1，1），=（，-1，0），

∴•=0+1-1=0，•=0，

∴D1B⊥MN，D1B⊥CM，

又MN∩CM=M，

∴D1B⊥平面A1MCN，又D1B⊂平面A1BD1，

∴平面A1MCN⊥平面A1BD1．

（3）由（2）得B到平面A1MCN的距离为d==1，A1B=，

∴直线A1B和平面A1MCN所成角的正弦值为=，

∴直线A1B和平面A1MCN所成角为．