直线、平面平行的判定及其性质
共5998题

直线、平面平行的判定及其性质
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题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=，E是PB上任意一点

（1）求证：AC⊥DE；

（2）当△AEC面积的最小值是9时，求PD的长

（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点G，使EG与面PAB所成角的正切值为2？若存在，求出BG的值，若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC

∴AC⊥面PBD

∴AC⊥DE

（2）设AC与BD交点为F，由（1）知，

AC⊥EF

当△AEC面积的最小值是9时，

EF取得最小值3

在△PBD中，当FE⊥PB时，EF最小，此时EB=

由△BEF∽△BDP得，解得

（3）以点F为坐标原点，FB，FC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

则

而

∴

而面PAB的法向量

由已知得，解得∴存在靠近点C的三等分点G满足题意

解析

解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC

∴AC⊥面PBD

∴AC⊥DE

（2）设AC与BD交点为F，由（1）知，

AC⊥EF

当△AEC面积的最小值是9时，

EF取得最小值3

在△PBD中，当FE⊥PB时，EF最小，此时EB=

由△BEF∽△BDP得，解得

（3）以点F为坐标原点，FB，FC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

则

而

∴

而面PAB的法向量

由已知得，解得∴存在靠近点C的三等分点G满足题意

题型：填空题

填空题

如图，在四面体ABCD中，△ABD是正三角形，AB⊥BC，AD⊥DC，AC=2AB，则直线DC与平面ABD所成角的正弦值等于______．

正确答案

解析

解：如图所示，

四面体ABCD中，∵△ABD是正三角形，AB⊥BC，AD⊥DC，且AC=2AB；

设AB=a，则AC=2a，∴BC=DC=a；

取BD的中点E，连接CE、AE，

则CE⊥BD，AE⊥BD；

又CE∩AE=E，

∴BD⊥平面ACE，

又BD⊂平面ABD，

∴平面ABD⊥平面ACE，

过点C作CF⊥AE于F，

则CF⊥平面ABD；

连接DF，则∠CDF就是直线CD与平面ABD所成的角；

∵AB=a，BC=DC=a，

∴AE=，CE=；

∴cos∠AEC==，

∴CF=EC•sin∠AEC=a•=，

∴sin∠CDF===

即直线DC与平面ABD所成角的正弦值为

．

故答案为：

题型：填空题

填空题

已知正三棱锥S-ABC中，E是侧棱SC的中点，且SA⊥BE，则SB与底面ABC所成角的余弦值为______．

正确答案

解析

解：过点S作SO⊥平面ABC，连接OB，则点O为正三角形ABC的中心，∠SBO即为所求角

∵AO是AS在平面ABC内的射影，且AO⊥BC

∴SA⊥BC

又SA⊥BE，∴SA⊥平面SBC，∴SA⊥SC，SA⊥SB

Rt△SAB内，设SA=SB=a，则AB=a，OB==a

∴cos∠OBS==

故答案为：．

题型：简答题

简答题

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（　　）

①f（）=1；②f（x）为奇函数；③f（x）在其定义域内单调递增；④f（x）的图象关于点（，0）对称．

正确答案

题型：填空题

填空题

（理）若一条直线与一个正方体的各个面所成的角都为θ，则sinθ=______．

正确答案

为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等，

即为体对角线与该正方体所成角．

所以sinθ==．

故答案为：

题型：填空题

填空题

过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是______．

正确答案

设截面的圆心为Q，

由题意得：∠OAQ=60°，QA=1，

∴S=π•12=π．

答案：π．

题型：填空题

填空题

若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为a，则cosa=______．

正确答案

不妨认为一个正四棱柱为正方体，与正方体的所有面成角相等时，

为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等，

即为体对角线与该正方体所成角．

所以 cosa==．

故答案为：

题型：填空题

填空题

已知正四棱锥P-ABCD的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的侧面积是______．

正确答案

棱锥的底面对角线的长为l：= tan60°，l=底面棱长为：；

斜高为：；

所以四棱锥的侧面积：4×××=；

故答案为：．

题型：简答题

简答题

如图,在四棱锥PABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=2,M、N分别为PB、PD的中点.

(1)证明:MN∥平面ABCD;

(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角AMNQ的平面角的余弦值.

正确答案

（1）见解析（2）

(1)证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点,所以MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD.

又因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

所以MN∥平面ABCD.

(2)解: 如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,

得AC=AB=BC=CD=DA,

BD=AB.

又因为PA⊥平面ABCD,

所以PA⊥AB,PA⊥AC,

PA⊥AD.

所以PB=PC=PD.

所以△PBC≌△PDC.

而M、N分别是PB、PD的中点,

所以MQ=NQ,

且AM=PB=PD=AN.

取线段MN的中点E,连接AE,EQ,

则AE⊥MN,QE⊥MN,

所以∠AEQ为二面角AMNQ的平面角.

由AB=2,PA=2,故在△AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.

在直角△PAC中,AQ⊥PC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,

在△PBC中,cos∠BPC==,

得MQ==.

在等腰△MQN中,MQ=NQ=,MN=3,

得QE==.

在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,

得cos∠AEQ==.

所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为.

题型：简答题

简答题

如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，

平面，，．

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

正确答案

（1）证明见试题解析；（2）.

试题分析：（1）①根据在处取得极值，求导将带入到导函数中，联立方程组求出的值；②存在性恒成立问题，，只需，进入通过求导求出的极值，最值.（2）当的未知时，要根据中分子是二次函数形式按进行讨论.

试题解析：（1）定义域为.

①,

因为在处取和极值，故,

即，解得.

②由题意：存在，使得不等式成立，则只需

由，令则，令则或，

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减

所以在处取得极小值，

而最大值需要比较的大小,

比较与4的大小，而，所以

所以

所以.

（2）当时，

①当时，则在上单调递增；

②当时，∵ ，则在上单调递增；

③当时，设，只需，从而得，此时在上单调递减；

综上可得，.

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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