热门试卷

（1）二面角的大小为45度  （2）证明见答案

（１）连接，，，又，

面，又面，，

即为二面角的平面角．在中，

所以角PAD为45度，即二面角的大小为45度．

（2）设是的中点，连接，，

，，依次是，，的中点，

，，

，，平面．

，平面，

又平面，．

（1）.（2）

试题分析：（I）利用空间向量法求异面直线所成的角，先建系，然后再利用来解决.

(II)先求出平面ABC的法向量，然后再利用设EF与平面ABC的所成的角为,再利用求解即可.

（1）以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.

则有、、、

<>所以异面直线与所成角的余弦为.

（2）设平面的法向量为则

由

由，

则，故BE和平面的所成的角正弦值为

点评：掌握空间的各种角的定义以及用向量法求解的方法及步骤是解决此类问题的关键.

(1) AC="3" (2) CD=    (3)正弦大小为 

本试题主要考查了距离和角的求解运用。第一问中，利用ACCA为正方形, AC=3

第二问中，利用面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD=，第三问中，利用三垂线定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值为

解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC="3" ……………  5分

(2)在面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 过E作EHAB于H, 连HC, 则HCAB

CHE为二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为 ……… 12分

解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|="h," 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

="(2," －, －), ="(0," －3, －h)  ……… 4分

·=0, h=3

(2)设平面ABC得法向量="(a," b, c),则可求得="(3," 4, 0) (令a=3)

点A到平面ABC的距离为H=||=……… 8分

(3) 设平面ABC的法向量为="(x," y, z),则可求得="(0," 1, 1) (令z=1)

二面角C－AB－C的大小满足cos== ………  11分

二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为

（1）如图建立空间直角坐标系，

                                              ……3分

（2）

∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为. ……8分

（3）易知，则的法向量。

 ，

∴平面PAB与平面PCD所成二面角的正切值为2。

略

解：（Ⅰ）由题意，，

.在中，∵，∴，

∴两两垂直，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图）.

设平面的法向量为，，，

，取

设直线与平面成的角为，

则

直线与平面成的角为

（Ⅱ）设平面的法向量为，

令                                  

由（Ⅰ）知平面的法向量为令.                 

由图知二面角为锐角，

∴二面角大小的余弦值为.                      

略

（1）关键是证明（2）先证明（3）

试题分析：本题（1）问，由中位线得，再由平行线的传递性得，然后结合定理在说明清楚即可；

第（2）问，关键是证明，再结合，就可证明

平面平面；

第（3）问，由于，则为直线与平面所成角，结合三角函数可求出其正切值。

解：（１） 

， 又

（２）

，又

，

（３）

即直线与平面所成角

点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行，面面垂直的判定方法是关键．

证明：（Ⅰ）连结EO，

在△PAC中，∵O是AC的中点，E是PC的中点，

∴OE∥AP

又∵OE平面BDE，

PA平面BDE，

∴PA∥平面BDE

（Ⅱ）∵PO底面ABCD，

∴POBD

又∵ACBD，且ACPO＝O，

∴BD平面PAC．

而BD平面BDE，

∴平面PAC平面BDE。

略

(1)证明见解析(2) －

（Ⅰ）由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．

建立空间直角坐标系如图，则, ．

由M为PB中点，∴．

∴．

∴，

．

∴PA⊥DM，PA⊥DC．  ∴PA⊥平面DMC．                             

（Ⅱ）)．令平面BMC的法向量，

则，从而x+z=0； ……①, ，从而． ……②

由①、②，取x=−1，则．  ∴可取．

由(II)知平面CDM的法向量可取，

∴． ∴所求二面角的余弦值为－．