热门试卷

(Ⅰ)略  (Ⅱ)  

（Ⅰ）当为中点时,有∥平面．…１分 

证明:连结连结，

∵四边形是矩形 ∴为中点

∵∥平面，且平面,

平面∴∥， ----5分

∴为的中点． --6分

（Ⅱ）建立空间直角坐标系如图所示,

则,,,

, ------------8分

所以

设为平面的法向量,

则有,

即

令,可得平面的一个

法向量为,　　　　　　　　　　　　　　----------------11分

而平面的法向量为，   ---------------------------12分

所以，

所以二面角的余弦值为--------14分

（1）

（2）

（3）证明见解析

（1）所成角

又,

与平面所成的角为 

（2） 

（3）过点作,交于,连接,则,

（1）略

（2）余弦值为

（1）如图以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体边长为

则有

所以

因为

所以 即

（2）由（1）可知

设平面的法向量为，平面的法向量为

则有 

所以有 所以 

所以可设平面的法向量为

所以

过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF.

∵ EF⊥平面ABCD，

∴ ∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角.

由题意，得EF=

∵

∵ EF⊥DF， ∴

故直线DE与平面ABCD所成角的大小是

略

（1）同解析（2）∠EOF=120

如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O—xyz,设正方形ABCD边长为a,则A(0，－a,0),B(a,0,0),C(0, a,0),D(0,0, a),E(0,－a, a),F(a, a,0)

∴∠EOF=120°

（I）证明见解析

（II）

解法一：

（I）由AC=1，AB=，BC=知AC2+AB2=BC2，

所以AC⊥AB。

因为ABC—A1B1C1是直三棱柱，面ABB1A1⊥面ABC，

所以AC⊥面ABB1A1。………………3分

由，知侧面ABB1A1是正方形，连结AB1，

所以A1B⊥AB1。

由三垂线定理得A1B⊥B1C。  ………………6分

（II）作BD⊥B1C，垂足为D，连结A1D。

由（I）知，A1B⊥B1C，则B1C⊥面A1BD，

于是B1C⊥A1D，

则∠A1DB为二面角

A1—B1C—B的平面角。 ………………8分

∴Rt△A1B1C≌Rt△B1BC，

故二面角A1—B1C—B的大小为………………12分

解法二：

由AC=1，AB=，BC=知AC2+AB2=BC2，

所以AC⊥AB。

如图建立空间直角坐标系

  ……………………2分

（I），

………………6分

（II）作，垂足为D，连结A1D。

设

，

所以等于二面角A1—B1C—B的大小。  ………………10分

，

故二面角A1—B1C—B的大小为………………12分