热门试卷

（Ⅰ）

（Ⅱ）.

(I)可采用传统方法作出二面角的平面角，求出后,可知,过作于，又过作交于，连结.则易证为二面角的平面角.然后解即可.

（2）解本小题的关键是确定点P的位置.设AC与BD交于O，则OF//CM，所以CM//平面FBD，所以M与C到平面BFD的距离相等，当P点在M或C时，三棱锥P—BFD的体积的最小.

（Ⅰ）法一：易求由勾股定理知，

设点在面内的射影为，过作于，连结，

则为二面角的平面角. ………………3分

在中由面积法易求，………………5分

由体积法求得点到面的距离是，所以，

所以求二面角的大小正弦值为………………7分

法二：易求由勾股定理知，

过作于，又过作交于，连结.

则易证为二面角的平面角………………2分

在中由面积法易求，

从而于是，所以，………3分

在中由余弦定理求得.………………4分

再在中由余弦定理求得.………………5分

最后在中由余弦定理求得，………………6分

所以求二面角的大小正弦值为………………7分

（Ⅱ）设AC与BD交于O，则OF//CM，………………8分

所以CM//平面FBD，………………9分

当P点在M或C时，三棱锥P—BFD的体积的最小. ……………10分

.

（I）证明见解析（II）45°（III）90°

[方法一]：（几何法）

（I）证法一：如图1，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC.

∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影，               

由三垂线定理得BC⊥SC.…………3分

证法二：如图1，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC.          

∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，                    图1

∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC.…………3分

（II）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，

∴可把四棱锥S—ABCD补形为长方体A1B1C1S—ABCD，

如图2，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，

∵SC⊥BC，BC//A1S，∴SC⊥A1S，

又SD⊥A1S，∴∠CSD为所求二面角的平面角.

在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，

由勾股定理得SD=1.

∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角为45°.……………8分

解法二：如图3，过点S作直线在面ASD上，

∵底面ABCD为正方形，在面BSC上，

为面ASD与面BSC的交线.

∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.

在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，

由勾股定理得SD=1.

∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角

为45°。…8分

（III）解法一：如图3，∵SD=AD=1，∠SDA=90°，∴△SDA是等腰直角三角形.

又M是斜边SA的中点， ∴DM⊥SA. 

∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.

由三垂线定理得DM⊥SB. ∴异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分

解法二：如图4，取AB中点P，连结MP，DP.

在△ABS中，由中位线定理得 MP//SB，是异面直线DM与SB所成的角.

，

又

∴在△DMP中，有DP2=MP2+DM2， 

即异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分

[方法二]：（向量法）

解析：如图所示，以D为坐标原点建立直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），

M（，0，），

∵　SB=，DB=，SD=1，∴　S（0，0，1），……………2分

（I）证明：∵　，

="0  " ∴　，即BCSC．……………5分

（II）设二面角的平面角为θ，由题意可知平面ASD的一个法向量为，设平面BSC的法向量为，由，

得，

∴　面ASD与面BSC所成的二面角为45°．……………10分

（III）设异面直线DM与SB所成角为α，

∵　，SB=(-1,-1,1),得

∴　异面直线DM与SB所成角为90°．……………14分

略

（1）过程详见解析；（2）.

试题分析：本题以直三棱柱为背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、计算能力.第一问，作出辅助线AD，即可得到，利用面面垂直的性质，得到，再利用线面垂直的性质，得到，同理，得到，利用线面垂直的判定，得到侧面，从而利用线面垂直的性质，得到；第二问，可以利用传统几何法，证明二面角的平面角为，在三角形中，利用边角关系解出角的值，还可以利用向量法，建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，利用夹角公式计算.

试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接，                    1分

因，则                            2分

由平面侧面，且平面侧面，    3分

得，又平面，            

所以.              4分

因为三棱柱是直三棱柱，

则，

所以.

又，从而侧面 ，

又侧面，故.                7分

（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影∴ 即为直线与所成的角，则        8分

在等腰直角中，，且点是中点

∴ ，且，

∴                                                  9分

过点A作于点，连

由（1）知，则，且

∴ 即为二面角的一个平面角                  10分

且直角中：

又，

∴ ，且二面角为锐二面角

∴ ，即二面角的大小为                 14分

解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则

，        ，           ，            

，  ，   ，      9分

设平面的一个法向量

由，  得：

 令 ，得 ，则              10分

设直线与所成的角为，则

得，解得，即      12分

又设平面的一个法向量为，同理可得，

设锐二面角的大小为，则

，且，得

∴ 锐二面角的大小为。                              14分