热门试卷

互补

作图即可

连接AC，设AC∩BD=O，连接PO

∵PD⊥平面ABCD，CO⊂平面ABCD∴PD⊥CO

由ABCD为正方形，知CO⊥BD

∵PD∩BD=D∴CO⊥平面PBD

∴∠CPO是直线PC与平面PBD所成的角

在Rt△POC中，sin∠CPO===

∴∠CPO=

∴直线PC与平面PBD所成的角为

（2）建立如图所示的空间直角坐标系D_xyz，设线段PB上存在一点E，使得PC⊥平面ADE

则存在实数λ，使得=λ（0≤λ≤1）

∵P（0，0，2），B（2，2，0）∴=(2，2，-2)

∴=+=+λ=(0，0，2)+(2λ，2λ，-2λ)=（2λ，2λ，2-2λ）

由题意显然有AD⊥平面PCD∴PC⊥AD 要使PC⊥平面ADE，只需⊥

即•=0∴0×2λ+2×2λ-2（2-2λ）=0

∴λ=∈[0，1]

故在线段上存在一点E（E为线段的中点）使得PC⊥平面ADE

（1）（解法一）如图，以线段FA的中点为原点O，以线段FA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系O-xyz．

由题意，曲线C是平面α上以原点O为顶点，由于在xOy平面内，CF（2，0，0）

是以O为顶点，以x轴为对称轴的抛物线，其方程为y2=4x，

因此，可设P(，y，0)A（-1，0，0），B（1，0，2），所以，=(2，0，2)，=(1-，-y，2)．

由P0B⊥AB，得2(1-)+4=0⇒y=2，⇒P(3，2，0)

所以，直线P0B与平面α所成角的大小为arctan（或arcsin）．

（解法二）如图，以点A为原点O，以线段FA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系O-xyz．

所以，A（0，0，0），B（2，0，2），F（2，0，0），并设P（x，y，0），

由题意，

⇒P(3，2，0)

所以，直线P0B与平面α所成角的大小为arctan（或arcsin）．

（2）（解法一）由（1），得△ABP的面积为S△ABP=2，△AFP的面积为S△AFP=2，

所以，×2h=×2×2，

解得，h=．

（解法二）=(2，0，2)，=(4，2，0)，设向量=(x，y，z)

则

所以，平面ABP0的一个法向量=(3，-2，-3)，∴h==．

（1）证明：在△BCC1中，

∵BC=1，CC1=2，∠BCC1=，

∴BC1==，

∴∠CBC1=90°，∴BC⊥BC1，

∵AB⊥侧面BB1C1C，BC1⊂面BB1C1C，

∴BC1⊥AB，

∵AB∩BC=B，∴BC1⊥平面ABC；

（2）∵AB⊥侧面BB1C1C，AB⊂面ABC1，

∴侧面BB1C1C⊥面ABC1，

过E作BC1的垂线，垂足为F，则EF⊥面ABC1，

连接AF，则∠EAF为所求．

∵BC1⊥BC，BC1⊥EF，

∴BC∥EF，

∵E是CC1的中点，

∴F是BC1的中点，EF=，

∵AE=，

∴sin∠EAF==，即AE和平面ABC1所成角正弦值为．

（1）证明：连接AE并延长交BB1于点D，连接DM，则NE为三角形ADM的中位线

∴NE∥DM

∵NE⊄平面BB1C1C，DM⊂平面BB1C1C

∴NE∥平面BB1C1C；

（2）过B1作B1F⊥A1C1，连接FM，则

∵AA1⊥平面A1B1C1，B1F⊂平面A1B1C1，

∴AA1⊥B1F

∵A1C1∩AA1=A1，∴B1F⊥平面AA1C1C

∴∠B1MF为B1M与平面AA1C1C所成的角，即∠B1MF=30°

∵A1B1=B1C1=2，A1B1⊥B1C1，∴B1F=

∴B1M=2

∴C1M=2

∵CC1=4，

∴M是CC1的中点时，B1M与平面AA1C1C所成的角是30°．

（1）连接AC1，交A1C于O点，连接OM

∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱

∴四边形AA1C1C是矩形，可得AO=OC1

∵M为AB的中点，

∴OM是△A1CB的中位线，可得OM∥BC1，

又∵OM⊂平面MA1C，BC1⊄平面MA1C

∴BC1∥平面MA1C；

（2）根据直三棱柱ABC-A1B1C1中AC⊥BC，可得CA、CB、CC1两两垂直，

因此以C为原点，CA、CC1、CB分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系

设AC=1，可得C（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，1，0），C1（0，1，0），B（0，0，1），

设平面AA1B1B的一个法向量为=（x，y，z），直线BC1与平面AA1B1B所成角是α

∵=（0，1，0），=（-1，0，1），

∴可得方程组，取x=1，得y=0，z=1

由此可得平面AA1B1B的法向量为=（1，0，1），

∵=（0，1，-1），

∴sinα=|cos＜，＞|=||=

∵直线BC1与平面AA1B1B所成角α是锐角

∴α=30°，即直线BC1与平面AA1B1B所成角为30°

∵A（1，0，0），B（1，0，1），C（0，1，1），∴=(0，0，1)，=(-1，1，1)．

设平面ABC的法向量为=(x，y，z)，则，即，

不妨令x=1，则y=1，z=0，∴=(1，1，0)．

又=（0，1，1），

设直线AD与平面ABC所成的角为θ，

则sinθ=|cos＜，＞|===．

∵θ∈[0，]，∴θ=．

因此直线AD与平面ABC所成的角为．