热门试卷

过作，交于，连接.

 平面，

是直线与平面所成的角.    ……4分

由题意，得.

  .              ……8分

 ，.   ……10分

故直线与平面所成角的大小是. ……12分

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

（Ⅰ）证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形.

过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.

连结OA，OB,OD,OE.

由和都是等边三角形知PA=PB=PD，

所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，

故，

从而.           3分

因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE//CD.因此.  5分

（Ⅱ）解法一：

由（Ⅰ）知，，.

故平面PBD.

又平面PBD，所以.

取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，

则FG//CD，FG//PD.

连结AF，由为等边三角形可得AF⊥PD.

所以为二面角A-PD-C的平面角.         8分

连结AG，EG，则EG//PB.

又PB⊥AE，所以EG⊥AE.

设AB=2，则，，

故.

在中，，，，

所以.

因此二面角A-PD-C的大小为.      12分

解法二：

由（Ⅰ）知，OE,OB,OP两两垂直.

以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

设，则

，，，.

，.

，.

设平面PCD的法向量为，则

，

，

可得，.

取，得，故.      8分

设平面PAD的法向量为，则

，

，

可得.

取m=1，得，故.

于是.

由于等于二面角A-PD-C的平面角，

所以二面角A-PD-C的大小为.     12分

（1）解题的关键是辅助线的添加，取BC的中点E是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）利用三垂线定理法或者空间向量法求解二面角. 求二面角：关键是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂线定理定角法，先找到一个半平面的垂线，然后过垂足作二面角棱的垂线，再连接第三边，即可得到平面角。若考虑用向量来求：要求出二个面的法向量，然后转化为,要注意两个法向量的夹角与二面角可能相等也可能互补，要从图上判断一下二面角是锐二面角还是钝二面角，然后根据余弦值确定相等或互补即可。

【考点定位】本题考查线线垂直的证明和二面角的求解，考查学生的空间想象能力和计算能力。

（Ⅰ）在平面OAB内作ONOA交AB于N，连接CN，在△AOB中，且OA=OB,。在Rt△AON中，,。

在△ONB中，.。又AB=3AQ，Q为AN的中点。在△CAN中，分别为AC,AN的中点，.由OAOC，OAON知：OA平面CON。又NC平面CON,OACN.由PQ//CN,知OAPQ.

（Ⅱ）连结PN,PO.

由OCOA，OCOB知：OC平面OAB。

又ON平面OAB， OCON.又由ONOA知：ON平面AOC. OP是NP在平面AOC内的射影。

在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，ACOP。

根据三垂线定理，知：ACNP.

为二面角O-AC-B的平面角。

在等腰Rt△COA中，OC="OA=1," OP=。

在Rt△AON中，ON=OA=，

在Rt△PON中，PN==,

cos。

解法二:

(Ⅰ)取O为坐标原点，以OA,OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）。

则A(1,0,0),C（0,0,1），B。

。。

又由已知，可得

又..

.故。

（Ⅱ）记平面ABC的法向量，则由n,n，且=（1,0，-1）。

得故可取。

又平面OAC的法向量为e=（0,1,0）。

二面角O-AC-B的平面角是锐角，记为，则。

作出二面角A－BD－C的平面角

在棱BD上选取恰当的点

AB＝AD，BC＝DC

解：取BD中点E，连结AE，EC

∵AB＝AD，BC＝DC   

∴AE⊥BD，EC⊥BD

∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角

∴∠AEC＝60°

∵AD＝2，DC＝4

∴AE＝，EC＝

∴据余弦定理得：AC＝．

（Ⅰ）证明：以的中点为原点，分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标，则

∴

∴即

又∵    ∴平面  ………………………………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面的一个法向量，

且于是

设直线与平面所成的角为，则

故，直线与平面所成角的正弦值为

略

(1)

(2)

解：（Ⅰ）由已知可得.

……5分

(Ⅱ)

.

 ， ，，

的值域是.……………………………………10分

要求二面角B-AˊC-D的余弦值，先作出二面角的平面角，抓住图形中AˊB=BC，AˊD=DC的关系，采用定义法作出平面角∠BED（E为AC的中点）然后利用余弦定理求解

解：连BD、AC交于O点

则AˊO⊥BD，CO⊥BD

∴∠AˊOC为二面角Aˊ-BD-C的平面角

∴∠AˊOC=60°

设正方形ABCD的边长为a

∵A′O=OC=1/2AC=

∠A′OC=60°

∴ΔA′OC为正三角形则A′C=

取A′C的中点，连DE、BE

∵A′B=BC

∴BE⊥A′C

同理DE⊥A′C

∴∠DEB为二面角B-A′C-D的平面角在ΔBA′C中

BE=

同理DE=

在ΔBED中，BD=

∴ cos∠BED=

=

=--

∴二面角B-A′C-D的余弦值为-

分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．

解：因为  AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．

所以  AB∥平面CPD．

又  P∈平面APB，且P∈平面CPD，

因此 平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．

因为  AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，

所以  AB∥l．

过P作PE⊥AB，PE⊥CD．

因为  l∥AB∥CD，

因此  PE⊥l，PF⊥l，

所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因为  PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，

因为  E，F分别是AB，CD的中点，

所以  EF=BC=a．

在△EFP中，

（1）（2）（3）

（1）作PO⊥平面ABCD于O，则PO⊥AD，又∵PB⊥AD，

∴AD⊥平面POB，连OB交AD于E，则PE⊥AD，BE⊥AD，

得∠PEB为二面角P-AD-B的平面角.∴∠PEB=120°，

在边长为2正△PAD中，易得AE=，∴为所求；

（2）易证Rt△PAE≌Rt△BAE（直角边、斜边）.∴BE=PE=，∴PB=3.又在Rt△PBC中.∵AB∥DC，∴PD与AB所成角即为PD与DC所成角.在△PDC中，由余弦定理得.∴PD与AB所成角大小为.

（3）取PB中点G及PC中点F，则GF∥BC，而BC⊥PB，∴GF⊥PB；又∵AP=AB，∴AG⊥PB，于是∠AGF为所求平面角.由（2）所证知PE=BE，∴∠PEG=60°，,∴Rt△GAE中, ，∴.

解法2：建立如图坐标系,则,先证明及,从而知B,

G，A，C.然后由，如与所成的角即为所求平面角.∵，∴平面角.

注：（2）题中可由得.