热门试卷

解：（Ⅰ）由题意可知该几何体为直三棱柱，且它的直观图如图所示．由图知底面正三角形边长为2，棱柱高为3，

∴S△ABC=，∴V=3（4分）

（Ⅱ）证明：连接B1C交BC1于E点，则E为B1C、BC1的中点，连接DE．

∵AD=A1D，AB=A1C1，∠BAD=∠DA1C1=90°，

∴△ABD≌△A1C1D．∴BD=C1D．∴DE⊥BC1．

同理，DE⊥B1C，

又∵B1C∩BC1=E．∴DE⊥平面BB1C1C．

又∵DE⊂平面BDC1，∴平面BB1C1C⊥平面BDC1．（8分）

（Ⅲ）解：取BC的中点P，连接AP，则AP∥平面BDC1，

证明：连接PE，则PE∥AD，且PE=AD，∴四边形APED为平行四边形．

∴AP∥DE．又DE⊂平面BDC1，AP⊄平面BDC1，

∴AP∥平面BDC1．（12分）

（1）证明：∵将△ADM沿AM折起，使点D位于D′位置，

∴AM⊥D′E，AM⊥EF，D′E∩EF=E，

∴AM⊥面D′EF，

∵AM⊂平面AMCB，

∴平面D′EF⊥平面AMCB；

（2）解：由（1）知，AM⊥面D′EF，AM⊂平面ABCM，

∴平面ABCM⊥面D′EF，

过D′作D′H⊥EF，则D′H⊥平面ABCM，

∴∠D′FH也就是∠D′FE是直线D‘F与平面ABCM所成角，

由已知，∠D′FE=，

并且∠D′AH是所求的直线AD′与平面ABCM所成角．

∵∠D′EF=，且∠D′FE=

在三角形△D′EF中，

∵∠D′EF=，且∠D′FE=

∴是等边三角形，∴D′E=EF，即DE=EF，

∴△DAF是等腰三角形．

设AD=2，∴AF=2，EF=，四棱锥D′-ABCM的高D′H=

由于直线AD′与平面ABCM所成角为∠D′AH，

∴sin∠D′AH==．

证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，

∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，

∵BC2=AC2+AB2，∴AB⊥AC，（2分）

∵平面ABC∩平面ACED=AC

∴AB⊥平面ACED，即AB为四棱锥B-ACED的高，（4分）

∵，

∴CE=2，（6分）

作BE的中点G，连接GF，GD，

∴GF为三角形BCE的中位线，

∴GF∥EC∥DA，，（8分）

∴四边形GFAD为平行四边形，

∴AF∥GD，又GD⊂平面BDE，∴AF∥平面BDE．（10分）

（Ⅱ）∵AB=AC，F为BC的中点，

∴AF⊥BC，又GF⊥AF，∴AF⊥平面BCE，（12分）

∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，

又GD⊂平面BDE，

∴平面BDE⊥平面BCE．（14分）

证明：（Ⅰ）因为AF∥BE，AF⊄平面BB1E1E，

所以AF∥平面BB1E1E，

同理可证，AA1∥平面BB1E1E，

所以，平面AA1F1F∥平面BB1E1E

又F1G⊂平面AA1F1F，所以F1G∥平面BB1E1E

（Ⅱ）因为底面ABCDEF是正六边形，所以AE⊥ED，

又E1E⊥底面ABCDEF，所以E1E⊥AE，

因为E1E∩ED=E，所以AE⊥平面DD1E1E，

又AE⊂平面F1AE，所以平面F1AE⊥平面DD1E1E

（Ⅲ）由于底面ABCDEF是正六边形，

所以EF⊥BF．如图，

建立如图所示的空间直角坐标系．则

E（0，2，0），G（，-，0），F1（0，0，2），A（，-1，0）．

则=（，-，0），=（，-1，-2），

从而两异面直线EG与F1A所成角的余弦值为

cosθ===

解：（1）证明：如图所示，

取DC的中点E，连接EN、EM，

∵M、N为AB、PC的中点，

∴EN∥PD，EM∥DA；

在矩形ABCD中，AD⊥CD，

∴EM⊥CD；

又PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥CD，

且PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD；

∴CD⊥PD，

∴CD⊥EN；

又EN∩EM=E，

∴CD⊥平面MNE，

∴CD⊥MN；

又CD∥AB，

∴AB⊥MN；

（2）证明：如图2所示，

取PD的中点F，连接AF，FN；

∵PA⊥平面ABCD，且CD⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD，PA⊥AD，

又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

∴∠PDA是平面PDC与平面ABCD成的二面角的平面角，且∠PDA=45°，

又∵AF⊂平面PAD，

∴CD⊥AF，

F为PD中点，

∴AF⊥PD；

 又∵PD∩CD=D，

∴AF⊥平面PDC，

∵MN∥AF，

∴MN⊥平面PDC，

又∵MN⊂平面MND，

∴平面MND⊥平面PDC．

证明：由多面体P-ABCD的三视图知，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，

侧面PAD是等腰三角形，PA=PD=，且平面PAD⊥平面ABCD（3分）

（1）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA，且

PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD

∴EF∥平面PAD（6分）

（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，其交线为AD，

CD⊂平面ABCD

又　CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又CD⊄平面PAD

∴平面PAD⊥平面PDC（9分）

（3）由（1）知点P到平面ABCD的距离为1，则VP-ABCD=×2×2×1=（12分）

证明：∵AB⊥平面α，CD⊂α，

∴AB⊥CD，

又AC⊥CD，AC∩AB=A，AC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴CD⊥平面ABC，

∵CD⊂平面ACD，

∴平面ACD⊥平面ABC．