热门试卷

（Ⅰ）证明：∵EA∥CD，CD⊂平面PCD，EA⊄平面PCD，

∴EA∥平面PCD．

又平面EAFH∩平面PCD=HF，且EA⊂平面EAFH，

∴EA∥HF．

∴HF∥CD．

∵E、F分别是AB、PD的中点，

∴EA∥HF∥CD，EA=HF=CD．

∴四边形EAFH是平行四边形．

∴AF∥EH．…（5分）

（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD是PD在平面ABCD内的射影，

∴PD⊥CD．

∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°．

∴△PAD是等腰Rt△，又F是斜边PD上的中点，

∴AF⊥PD．

∵AF在平面ABCD内的射影AD⊥CD，

∴AF⊥CD，而PD∩CD=D．

∴AF⊥平面PCD．

∵EH∥AF，∴EH⊥平面PCD．

又EH⊂平面PCE，∴平面PCE上平面PCD．…（9分）

（Ⅲ）由上面的证明可知，PF⊥平面EAFH，四边形EAFH是矩形，

∵PA=AD=a，

∴AF=PF=a，HF=．

∴VP-EAFH=AF•HF•PF=•a••a=．

=(+a)•a•a=

∴V多面体ECDAHF=VP-AECD-VP-EAFH=-=．…（13分）

证明：（1）设AC∩BD=E，连接D1E，

∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1．

∴B1D1∥BE，∵B1D1=BE=，

∴四边形B1D1EB是平行四边形，

所以B1B∥D1E．

又因为B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，

所以B1B∥平面D1AC

（2）证明：侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥DD1．

∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD．

∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，

∴AC⊥平面B1BDD1

∵AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1．

（1）由于M为AB中点，D为PB中点，故MD为三角形PAB的中位线，故MD∥AP．

而AP⊂平面APC，MD不在平面APC内，故有DM∥平面APC．

（2）∵M为AB中点，且AB=2MP，故有MA=MB=MP，故M为△PAB的外心，故有PA⊥PB．

再由AP⊥PC，PB∩PC=P，可得PA⊥平面PBC，故PA⊥BC．

再由BC⊥PC，PA∩PC=P，可得BC⊥平面PAC．

而BC⊂平面ABC，故有平面ABC⊥平面APC．

（Ⅰ）证明：连接BD．

在正方体AC1中，对角线BD∥B1D1．

又因为E、F为棱AD、AB的中点，

所以EF∥BD．

所以EF∥B1D1．（4分）

又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，

所以EF∥平面CB1D1．（7分）

（Ⅱ）因为在长方体AC1中，

AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，

所以AA1⊥B1D1．（10分）

又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

所以B1D1⊥平面CAA1C1．（12分）

又因为B1D1⊂平面CB1D1，

所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（14分）

（I）证明：∵DF=EF=2，ED=4，

∴EF⊥DF，又∵DF⊥B′F，EF∩B′F=F，

∴DF⊥平面A′EFB′，又DF⊂平面CDEF，

∴平面A′EFB′⊥平面CDEF

（II）过B′作B′H⊥EF于H，

由（I）知平面A′EFB′⊥平面CDEF，

∴B′H⊥平面CDEF，

过H作HK⊥CF，交CF延长线于K，连结B′K，

由三垂线定理得，B′K⊥CF，

∴∠B′KH为二面角B′-FC-E的平面角，

∵B′F=3，∠B′FE=45°，∠B′HF=90°，

∴B′H=HF=，HK=

∴tan∠B′KH==，

即二面角B′-FC-E的正切值为

（1）∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴SA⊥BD、

∵ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，∴BD⊥平面SAC、

∵BD⊂平面EBD，

∴平面EBD⊥平面SAC、

（2）设AC∩BD=F，连SF，则SF⊥BD、

∵AB=2．∴BD=2．

∵SF===3

∴S△SBD=BD•SF=•2•3=6．

设点A到平面SBD的距离为h，

∵SA⊥平面ABCD，

∴•S△SBD•h=•S△ABD•SA，

∴6•h=•2•2•4，

∴h=，

∴点A到平面SBD的距离为．

证明：（I）由题意，O、O1分别是AC、A1C1的中点，

∴四边形D1O1BO是平行四边形，

∴BO1∥OD1

∴BO1∥OE

∵OE⊂平面ACE，BO1⊄平面ACE，

∴λ取不等于0的任何值时都有BO1∥平面ACE；

（Ⅱ）

不妨设正方体的棱长为1，以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则可得D（0，0，0），B1（1，1，1），O(，，0)，C（0，1，0），D1（0，0，1）

∴=（1，1，1），=（0，-1，1），=(-，，0)

∴•=0，•=0

∴DB1⊥CD1，DB1⊥OC

∴平面CD1O的一个法向量为=（1，1，1），

∵λ=2，∴E（，，）

又设平面CDE的法向量为=（x，y，z）

∵=（0，1，0），=（，，）

∴

∴可取=（1，0，-1）

∴•=0

∴平面CDE⊥平面CD1O．

证明：（I）∵△PDC中，E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD，

∵CD⊥PD，CD⊥AD，PD∩AD=D

∴CD⊥平面PAD，

∴EF⊥平面PAD，

∵EF⊂平面EFG，

∴平面EFG⊥平面PAD； 

（II）∵G为BC的中点，F为PD的中点，

∴GF∥BP

∵GF⊄平面PAB，BP⊂平面PAB，

∴GF∥平面PAB，

由（I）知，EF∥DC

∵AB∥DC，∴EF∥AB

∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB，

∵EF∩GF=F

∴平面EFG∥平面PAB

∵PA⊂平面PAB

∴AP∥平面EFG．

（1）如图，连接AC，

∵ABCD为矩形且F是BD的中点，

∴AC必经过F．（2分）

又E是PC的中点，

所以，EF∥AP．（4分）

∵EF在面PAD外，PA在面内，

∴EF∥面PAD（6分）

（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，

∴CD⊥面PAD，（8分）

又AP⊂面PAD，

∴AP⊥CD．（9分）

又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD．（11分）

又AD⊂面PAD，所以，面PDC⊥面PAD．（12分）