热门试卷

（1）取PD的中点M，连接AM，连接MF，

则由题意知MF∥DG且MF=DG．

又DG∥AE且DG=AE，

∴MF∥AE且MF=AE，

∴四边形MDGF为平行四边行．

∴EF∥AM．

又EF⊄平面PAD，MA⊂平面PAD，

∴EF∥面PAD；

（2）连接AC，交GE于O，连接OF，

则由题意知AO=OC，

又PF=FC，

∴OF∥PA．

又∵PA⊥面ABCD，

∴OF⊥面ABCD，

又∵OF⊂面EFG，

∴面EFG⊥面ABCD．

（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，

∴B1F1∥BF，AF1∥C1F．

又∵B1F1∩AF1=F1，C1F∩BF=F，

∴平面AB1F1∥平面C1BF．

（2）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1．

又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1=A1，

∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，

∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1．

如下图所示：

①平面ABC⊥平面BCD．（1分）

因为AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABC，（3分）

所以平面ABC⊥平面BCD．（4分）

②平面ABD⊥平面BCD．（5分）

因为AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD，（7分）

所以平面ABD⊥平面BCD．（8分）

③平面ABC⊥平面ACD．（9分）

因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD；（11分）

又BC⊥CD，且AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC．（13分）

又CD⊂平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD．（14分）

证明：（1）∵点D，E分别是BC，B1C1的中点，

∴A1E∥AD，EC∥B1D，

∴A1E∥平面AB1D，

又∵A1E∩EC=E，∴平面A1EC∥平面AB1D．

（2）∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

又∵平面ABC⊥平面BCC1B1，

∴AD⊥平面BCC1B1，

∴AD⊥BC1，

又∵点D是BC的中点，BC=BB1，

∴BD=BB1，BB1=B1C1，

∴=，∴△BDB1∽△B1BC1，

故∠BDB1=∠B1BC1，即∠BDF=∠B1BF，

∴∠BDF+∠DBF=∠B1BF+∠DBF=900，∠BFD=90°，

∴BF⊥B1D，即BC1⊥B1D，从而BC1⊥平面AB1D．

又BC1⊂平面A1BC1，所以平面A1BC1⊥平面AB1D．

（I）证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，

所以PD⊥平面ABCD

又BC∈平面ABCD，

因为四边形ABCD为正方形，

所以PD⊥BC

又PD∩DC=D，

因此BC⊥平面PDC

在△PBC中，因为G、F分别是PB、PC中点，

所以GF∥BC

因此GF⊥平面PDC

又GF∈平面EFG，

所以平面EFG⊥平面PDC；

（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，

四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，

则PD=AD=2，所以Vp-ABCD=S正方形ABCD，PD=

由于DA⊥面MAB的距离

所以DA即为点P到平面MAB的距离，

三棱锥Vp-MAB=××1×2×2=，

所以VP-MAB：VP-ABCD=1：4．

证明：（1）因为PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，所以PB∥MA．因PB⊂平面BPC，MA不在平面BPC内，所以MA∥平面BPC．同理DA∥平面BPC，因为MA⊂平面AMD，AD⊂平面AMD，MA∩AD=A，所以平面AMD∥平面BPC．（6分）

（2）连接AC，设AC∩BD=E，取PD中点F，连接EF，MF．

因ABCD为正方形，所以E为BD中点．

因为F为PD中点，所以EFPB．因为AMPB，所以AMEF．

所以AEFM为平行四边形．所以MF∥AE．因为PB⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，

所以PB⊥AE．所以MF⊥PB．

因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD．所以MF⊥BD．

所以MF⊥平面PBD．又MF⊂平面PMD．

所以平面PMD⊥平面PBD．（14分）

（Ⅰ）证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1

又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，

又B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，

所以平面AB1C⊥平面A1BC1．

（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连接DE，

则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，

因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．

又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．

即A1D：DC1=1．

（1）证明：∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC，

∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，

∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA

∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA，又PA∩CA=A，

∴BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PAC．

（2）由（1）知：PA⊥平面ABC，BC⊥CA，

设BC=x（0＜x＜2），AC===，

VP-ABC=×S△ABC×PA=x=

≤×=．

当且仅当x=时，取“=”，

故三棱锥P-ABC的体积最大为，此时BC=．

证明：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．

∵底面ABCD是正方形，

∴O为AC的中点，又E为PC的中点，

∴OE∥PA，

∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，

∴PA∥平面BDE．…（6分）

（2）∵PD=DC，E是PC的中点，

∴DE⊥PC．

∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AD．又由于AD⊥CD，PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，

所以有AD⊥DE．又由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．

于是，由BC∩PC=C，DE⊥PC，BC⊥DE可得DE⊥底面PBC．

故可得平面BDE⊥平面PBC．…（12分）