热门试卷

解：（1）∵C是圆心为O半径为1的半圆弧上

从点A数起的第一个三等分点，∴∠AOC=60°，

∴△OAC是等边三角形，∴CA=CD=1．

∵C是圆周上的点，AB是直径，

∴AC⊥AB，∴，

又CD⊥平面ABC，

∴AC，BC，CD两两垂直．以点C为坐标原点，、、分别为x、y、z轴的正向，建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），，C（0，0，0），D（0，0，1），，，

于是，，，．

设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，m=（p，q，r）为平面OCE的法向量，，，取x=1得n=（1，0，-1）．，，

取p=1得

，

因此，二面角O-EC-B的余弦值是．

（2）方法一：由（1）知，

设h=（x1，y1，z1）为平面ABD的法向量，则，即，取得．

设向量h和所成的角为ϑ，则，

设点C到平面ABD的距离为d，则．

方法二：由（1）知AC=1，

因为直线CD⊥平面ABC，所以，CD⊥AC，CD⊥BC，

于是，，．

因为AB=2=BD，点E是AD的中点，所以BE⊥AD．

因此，，

从而，，

．

因为，VC-ABD=VD-ABC，

设点C到平面ABD的距离为h，

则有，

即，

于是，．

（1）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以OE⊥BB1，

因为A1O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，

所以OE⊥平面BB1C1C，

又AO==1，AA1=，

得OE===，

则AE==

（2）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A1（0，0，2）

由，得点E得坐标是（），

设平面A1B1C的法向量是=（x，y，z），由得

令y=1，得x=2，z=-1，所以=（2，1，-1），

所以cos＜，＞==

即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值为．

解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；

△DEF∽△ABC，又AB=2DE，

∴BC=2EF=2BH，

∴四边形EFHB为平行四边形；

∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；

∴BE∥平面FGH；

同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；

又DE∥AB；

∴DE∥GH；

∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；

∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；

∴BD∥平面FGH；

（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；

∵CF⊥平面ABC；

∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；

∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：

H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（-1，0，0）；

连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；

∴BG⊥AC；

又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；

∴BG⊥CF，AC∩CF=C；

∴BG⊥平面ACFD；

∴向量为平面ACFD的法向量；

设平面FGH的法向量为，则：

，取z=1，则：；

设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=；

∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．

解：（1）如图所示建立空间直角坐标系，

O（0，0，0），A（3，0，0），

设O1（0，0，t），（t＞0），C（0，1，t），B（0，3，0）．

=（-3，1，t），=（0，3，-t），

∵AC⊥BO1，

∴•=3-t2=0，解得t=．

∴线段OO1=．

（2）设平面OAC的法向量为=（x，y，z），

则，∴，取z=-1，则y=．

∴=．

同理可得：平面ABC的法向量=，

∴===．

∴二面角O-AC-B的余弦值为．

解：（I）证明：在△BAD中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°

∴由余弦定理，可得BD=∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD

又在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，∴GD⊥BD

又AD∩GD=D，∴BD⊥平面ADG（5分）

（Ⅱ）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz

∵∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2

则有A（1，0，0），B（0，，0）．

∴=（-1，0，1）（7分）

设平面AEFG的法向量为n=（x，y，z）

由取n=（1，-，1）（9分）

而平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），（10分）

∴cos

故平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的大小为arccos（13分）

解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥DA，又AC⊥DA，AC∩PA=A，

∴DA⊥平面PAC．

（2）在空间直角坐标系内，A（0，0，0），C（1，0，0），B（1，-1，0），D（0，1，0），F（1，，0），P（0，0，1），

则，=（1，，0），

设平面PAF一个法向量为=（x，y，z），

则，令y=2，则x=1，即=（1，2，0），

又平面PCD法向量为=（1，1，1），

∴cos＜，＞===，

∴所求二面角的余弦值为．

解：（Ⅰ）由题设条件得△SBD的面积是

设点C到平面SBD的距离为d由VC-SBD=VS-BCD得：

所以点C到平面SBD的距离为（6分）

（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连接SE，则SE是所求二面角的棱（7分）

∵AD∥BC，BC=2AD

∴EA=AB=SA∴SE⊥SB

∵SA⊥面ABCD得：面SEB⊥面EBC，EB是交线．

又BC⊥EB∴BC⊥面SEB故SB是SC在面SEB上的射影∴CS⊥SE，

∴∠BSC是面SCD与面SBA所成二面角的平面角（10分）

∵SB=，

又BC⊥SB∴

故所求二面角的正切值为（12分）

解：取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，

∴∠AEC是二面角A-BD-C的平面角．

∵四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱长均为，

∴AE=1，CE=1，AC=，

∴AE2+CE2=AC2，

∴AE⊥EC，

∴二面角A-BD-C的大小为90°．

证明：（I）过点C做AB的垂线CE，E为垂足

∵AB⊥AD

∴AD∥CE

又∵AB∥CD

∴四边形ABCD为平行四边形

∴CE=AD=

在Rt△BCE中，CE=BEtan60°

∴BE=1

∴AE=2…3分

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），C（，2，0）

∵PF：FB=2：1

∴F（0，2，1）

∵=（-，0，1），=（0，3，0）

又∵•=0，

∴⊥，

∵AB⊥平面ADP，即平面ADP的法向量为，

故CF∥平面ADP…6分

（II）设平面AFC的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，

即•=0，•=0，

即

则=（1，，）

又AP⊥平面ACB，故=（0，0，3）为平面ACB的一个法向量，

∴二面角F-AC-B的余弦值为==…12分