- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1上的点,CF=AB=2CE=2,AD=4,AA1=8.
(1)求直线A1E与平面AA1DD1所成角的正弦值;
(2)求证:AF⊥平面A1ED;
(3)求二面角A1-ED-F的余弦角.
正确答案
解:(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,依题意得
D(0,4,0),F(2,4,2),A1(0,0,8),E(2,3,0)
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,是平面A1ADD1的一个法向量,
∵=(2,0,0),
=(2,3,-8)
∴cos<,
>=
=
故直线A1E与平面AA1DD1所成角的正弦值为(4分)
(2)证明:易知 =(2,4,2),
=(-2,-3,8),
=(-2,1,0),
于是 •
=0,
•
=0,因此AF⊥A1E,AF⊥ED,又A1E∩ED=E,
所以AF⊥平面A1ED.(8分)
(3)设平面EFD的法向量 =(x,y,z)
则 ,即
不妨令X=1,可得 =(1,2,-1)由(2)可知,
为平面A1ED的一个法向量.
于是cos =
=
,
所以二面角A1-ED-F的余弦值为 (12分)
解析
解:(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,依题意得
D(0,4,0),F(2,4,2),A1(0,0,8),E(2,3,0)
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,是平面A1ADD1的一个法向量,
∵=(2,0,0),
=(2,3,-8)
∴cos<,
>=
=
故直线A1E与平面AA1DD1所成角的正弦值为(4分)
(2)证明:易知 =(2,4,2),
=(-2,-3,8),
=(-2,1,0),
于是 •
=0,
•
=0,因此AF⊥A1E,AF⊥ED,又A1E∩ED=E,
所以AF⊥平面A1ED.(8分)
(3)设平面EFD的法向量 =(x,y,z)
则 ,即
不妨令X=1,可得 =(1,2,-1)由(2)可知,
为平面A1ED的一个法向量.
于是cos =
=
,
所以二面角A1-ED-F的余弦值为 (12分)
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.
(Ⅰ)证明B1C1⊥CE;
(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(Ⅲ)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.
正确答案
(Ⅰ)证明:以点A为原点建立空间直角坐标系,如图,
依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).
则,
而=0.
所以B1C1⊥CE;
(Ⅱ)解:,
设平面B1CE的法向量为,
则,即
,取z=1,得x=-3,y=-2.
所以.
由(Ⅰ)知B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面CEC1,
故为平面CEC1的一个法向量,
于是=
.
从而=
=
.
所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.
(Ⅲ)解:,
设 0≤λ≤1,
有.
取为平面ADD1A1的一个法向量,
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,
则=
=.
于是.
解得.所以
.
所以线段AM的长为.
解析
(Ⅰ)证明:以点A为原点建立空间直角坐标系,如图,
依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).
则,
而=0.
所以B1C1⊥CE;
(Ⅱ)解:,
设平面B1CE的法向量为,
则,即
,取z=1,得x=-3,y=-2.
所以.
由(Ⅰ)知B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面CEC1,
故为平面CEC1的一个法向量,
于是=
.
从而=
=
.
所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.
(Ⅲ)解:,
设 0≤λ≤1,
有.
取为平面ADD1A1的一个法向量,
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,
则=
=.
于是.
解得.所以
.
所以线段AM的长为.
如图,平面PAC⊥平面ABC,AC⊥BC,△PAC为等边三角形,PE∥CB,M,N分别是线段AE,AP上的动点,且满足:
=
=λ(0<λ<1).
(Ⅰ)求证:MN∥平面ABC;
(Ⅱ)求λ的值,使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45°.
正确答案
解:(Ⅰ) 证明:由
,得MN∥PE,
又依题意PE∥BC,所以MN∥BC.
因为MN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以MN∥平面ABC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知MN∥BC,故C、B、M、N共面,平面ABC与平面MNC所成的锐二面角即N-CB-A.
因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,且CB⊥AC,
所以CB⊥平面PAC.故CB⊥CN,即知∠NCA为二面角N-CB-A的平面角.
所以∠NCA=45°.在△NCA中运用正弦定理得,
=
.
所以.
解析
解:(Ⅰ) 证明:由
,得MN∥PE,
又依题意PE∥BC,所以MN∥BC.
因为MN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以MN∥平面ABC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知MN∥BC,故C、B、M、N共面,平面ABC与平面MNC所成的锐二面角即N-CB-A.
因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,且CB⊥AC,
所以CB⊥平面PAC.故CB⊥CN,即知∠NCA为二面角N-CB-A的平面角.
所以∠NCA=45°.在△NCA中运用正弦定理得,
=
.
所以.
如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.
(I)求证:EF⊥B1C;
(II)求二面角E-FC-D的正切值;
(III)求三棱锥F-EDC的体积.
正确答案
证明:(I)由正方体的几何特征可得:
∵B1C⊥AB,B1C⊥BC1,AB∩B1C=B
∴B1C⊥平面ABC1D1,
∴B1C⊥BD1,
又∵EF∥BD1,
∴EF⊥B1C.…(6分)
(II)∵点F为DB的中点,且ABCD为正方形,
∴CF⊥BD.
又DD1⊥平面ABCD,
∴DD1⊥CF.
而DD1∩DB=D,
∴CF⊥平面BDD1B1.
又EF⊂平面BDD1B1,
∴CF⊥EF,故∠EFD为二面角E-FC-D的平面角.
在Rt△EFD中,DE=1,DF=,
∴tan∠EFD==
.
因而二面角二面角E-FC-D的正切值为. …(9分)
(III)∵DE=1,FC=DF=,
∴VF-EDC=VE-FDC=×DE×
×DF×FC=
.
解析
证明:(I)由正方体的几何特征可得:
∵B1C⊥AB,B1C⊥BC1,AB∩B1C=B
∴B1C⊥平面ABC1D1,
∴B1C⊥BD1,
又∵EF∥BD1,
∴EF⊥B1C.…(6分)
(II)∵点F为DB的中点,且ABCD为正方形,
∴CF⊥BD.
又DD1⊥平面ABCD,
∴DD1⊥CF.
而DD1∩DB=D,
∴CF⊥平面BDD1B1.
又EF⊂平面BDD1B1,
∴CF⊥EF,故∠EFD为二面角E-FC-D的平面角.
在Rt△EFD中,DE=1,DF=,
∴tan∠EFD==
.
因而二面角二面角E-FC-D的正切值为. …(9分)
(III)∵DE=1,FC=DF=,
∴VF-EDC=VE-FDC=×DE×
×DF×FC=
.
在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,BC⊥AC,EF∥AC,AB=
,EF=EC=1.
(1)求证:AF∥平面BDE;
(2)求证:DF⊥平面BEF;
(3)求二面角A-BF-E的余弦值.
正确答案
(1)证明:设AC与BD交与点O.
∵EF∥AO,且EF=1,AO=AC=1.
∴四边形AOEF为平行四边形,
∴AF∥EO,
∵EO⊂面BDE,AF⊄面BDE,∴AF∥面BDE.…(3分)
(2)证明:∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,且CE⊥AC,∴CE⊥面ABCD,
连接FO,∵正方形ABCD的边长为,∴AC=BD=2;
直角梯形ACEF中,FO∥EC,且FO=1,DF=BF=,DE=BE=
,则BF⊥EF,
由BF=DF=,BD=2可知BF⊥DF,
∵EF∩DF=F
∴DF⊥平面BEF;…(7分)
(3)解:取BF中点M,BE中点N,连接AM、MN、AN,
∵AB=BF=AF=,∴AM⊥BF,
又∵MN∥EF,EF⊥BF,∴MN⊥BF,
∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角.
AM=AB=
,MN=
EF=
;
在Rt△APN中,可得AN2=AP2+NP2=,
∴在△AMN中,可得cos∠AMN==-
,…(12分)
解析
(1)证明:设AC与BD交与点O.
∵EF∥AO,且EF=1,AO=AC=1.
∴四边形AOEF为平行四边形,
∴AF∥EO,
∵EO⊂面BDE,AF⊄面BDE,∴AF∥面BDE.…(3分)
(2)证明:∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,且CE⊥AC,∴CE⊥面ABCD,
连接FO,∵正方形ABCD的边长为,∴AC=BD=2;
直角梯形ACEF中,FO∥EC,且FO=1,DF=BF=,DE=BE=
,则BF⊥EF,
由BF=DF=,BD=2可知BF⊥DF,
∵EF∩DF=F
∴DF⊥平面BEF;…(7分)
(3)解:取BF中点M,BE中点N,连接AM、MN、AN,
∵AB=BF=AF=,∴AM⊥BF,
又∵MN∥EF,EF⊥BF,∴MN⊥BF,
∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角.
AM=AB=
,MN=
EF=
;
在Rt△APN中,可得AN2=AP2+NP2=,
∴在△AMN中,可得cos∠AMN==-
,…(12分)
一个多面体的直观图(正视图、侧视图,俯视图)如图所示,M,N分别为A1B,B1C1的中点.
(1)求证:MN∥平面ACC1A1;
(2)求证:MN⊥平面A1BC;
(3)求二面角A-A1B-C的大小.
正确答案
解:由题意可知,这个几何体是直三棱柱,且AC⊥BC,AC=BC=CC1;
(1)连接AC1,AB1,由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1;
所以AA1⊥A1B1,则四边形ABB1A1为矩形,
由矩形的性质得AB1过A1B的中点M.
在△AB1C1中,由中位线性质得MN∥AC1,
又AC1⊂ACC1A1,MN⊈ACC1A1,
所以MN∥平面ACC1A1.
(2)因为BC⊥平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,
所以BC⊥AC1,
在正方形ACC1A1中,A1C⊥AC1,
又BC∩A1C=C,
所以AC1⊥平面A1BC,
由MN∥AC1,得MN⊥平面A1BC.
(3)过点C作CD⊥AB与D.再过点D作DE⊥A1B,
连接CE,
∵AC=BC;
∴CD⊥AB由其为直棱柱⇒CD⊥平面ABB1A1;
则∠CED即为所求二面角的平面角.
又CD=AB=
a,tan∠ABA1=
=
⇒
=
⇒DE=
a,
∴tan∠CED==
,即∠CED=60°,
故二面角A-A1B-为60°.
解析
解:由题意可知,这个几何体是直三棱柱,且AC⊥BC,AC=BC=CC1;
(1)连接AC1,AB1,由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1;
所以AA1⊥A1B1,则四边形ABB1A1为矩形,
由矩形的性质得AB1过A1B的中点M.
在△AB1C1中,由中位线性质得MN∥AC1,
又AC1⊂ACC1A1,MN⊈ACC1A1,
所以MN∥平面ACC1A1.
(2)因为BC⊥平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,
所以BC⊥AC1,
在正方形ACC1A1中,A1C⊥AC1,
又BC∩A1C=C,
所以AC1⊥平面A1BC,
由MN∥AC1,得MN⊥平面A1BC.
(3)过点C作CD⊥AB与D.再过点D作DE⊥A1B,
连接CE,
∵AC=BC;
∴CD⊥AB由其为直棱柱⇒CD⊥平面ABB1A1;
则∠CED即为所求二面角的平面角.
又CD=AB=
a,tan∠ABA1=
=
⇒
=
⇒DE=
a,
∴tan∠CED==
,即∠CED=60°,
故二面角A-A1B-为60°.
如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,已知测得从D、C到库底与水坝的交线的距离分别为
米、CB=10米,AB的长为10米,CD的长为
米,则库底与水坝所成的二面角的大小为______ 度.
正确答案
135
解析
解:如图所示,,
∴=
+
,
∵,
,∴
.
又,
,
,
.
∴=
+
,
解得,∴
.
∴库底与水坝所成的二面角=180°-45°=135°.
故答案为135°.
如图,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且AF=
AD=a,G是EF的中点,
(1)求证:AG⊥平面BGC;
(2)求二面角B-AC-G的正弦值.
正确答案
(1)证明:∵G是矩形ABEF的边EF的中点
∴AG=BG==2
∴AG2+BG2=AB2
∴AG⊥BG
又∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,
且BC⊥AB
∴BC⊥平面ABEF,
又∵AG⊂平面ABEF,
∴BC⊥AG
∵BC∩BG=B
∴AG⊥平面BGC;
(2)解:作GM⊥AB于M,则M为AB中点,M为G的射影
作GH⊥AC于H,连接MH,则所求角∠GHM
∵GM=a,MH==
a
∴GH=a
∴sin∠GHM==
.
解析
(1)证明:∵G是矩形ABEF的边EF的中点
∴AG=BG==2
∴AG2+BG2=AB2
∴AG⊥BG
又∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,
且BC⊥AB
∴BC⊥平面ABEF,
又∵AG⊂平面ABEF,
∴BC⊥AG
∵BC∩BG=B
∴AG⊥平面BGC;
(2)解:作GM⊥AB于M,则M为AB中点,M为G的射影
作GH⊥AC于H,连接MH,则所求角∠GHM
∵GM=a,MH==
a
∴GH=a
∴sin∠GHM==
.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为AB的中点,则二面角B-CA1-P的大小为______.
正确答案
解析
解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,
建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
C(0,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),
P(2,1,0),=(2,-2,2),
=(2,0,0),
=(2,-1,0),
设平面BCA1的法向量=(x,y,z),
则 ,取y=1,得
=(0,1,1),
设平面PCA1的法向量=(a,b,c),
则 ,取a=1,得
=(1,2,1),
设二面角B-CA1-P的平面角为θ,
cosθ=|cos<,
>|=
=
=
,
∴θ=,
故答案为:.
在等腰梯形ABCD中,AB=3,AD=BC=2,CD=1,E为AB上的点且AE=1,将△AED沿DE折起到A1ED的位置,使得二面角A1-CD-E的平面角为30°.
(1)求证:DE⊥A1B;
(2)求二面角B-A1C-D的余弦值.
正确答案
解:(1)证明:如左图,因为在等腰梯形ABCD中,AB=3,CD=1,AE=1,所以DE⊥AB,∴如右图中,DE⊥A1E,DE⊥BE,∴DE⊥面A1EB,故DE⊥A1B,
(2)如图建立空间直角坐标系,设E1A与X轴所的角为θ,则A1(cosθ,-sinθ,0),B(0,2,0),C(0,1,),D(0,0,
),设平面A1CD的法向量为
=(x,y,z),平面BCDE的法向量为
=(1,0,0),则
令z=1,则=(
),∵cos<
>=
,∴
=
,解得cosθ=1,即θ=0
此时,点A1在X轴上,A1(1,0,0),=(-1,2,0),
=(
,0,1),设平面A1BC的法向量为
=(x,y,z),则
,令y=1,得
=(2,1,
),故cos<
>=
=
结合图形,可得二面角B-A1C-D为钝角,故二面角的余弦值为-
解析
解:(1)证明:如左图,因为在等腰梯形ABCD中,AB=3,CD=1,AE=1,所以DE⊥AB,∴如右图中,DE⊥A1E,DE⊥BE,∴DE⊥面A1EB,故DE⊥A1B,
(2)如图建立空间直角坐标系,设E1A与X轴所的角为θ,则A1(cosθ,-sinθ,0),B(0,2,0),C(0,1,),D(0,0,
),设平面A1CD的法向量为
=(x,y,z),平面BCDE的法向量为
=(1,0,0),则
令z=1,则=(
),∵cos<
>=
,∴
=
,解得cosθ=1,即θ=0
此时,点A1在X轴上,A1(1,0,0),=(-1,2,0),
=(
,0,1),设平面A1BC的法向量为
=(x,y,z),则
,令y=1,得
=(2,1,
),故cos<
>=
=
结合图形,可得二面角B-A1C-D为钝角,故二面角的余弦值为-
扫码查看完整答案与解析