• 直线、平面平行的判定及其性质
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题型:简答题
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简答题

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1上的点,CF=AB=2CE=2,AD=4,AA1=8.

(1)求直线A1E与平面AA1DD1所成角的正弦值;

(2)求证:AF⊥平面A1ED;

(3)求二面角A1-ED-F的余弦角.

正确答案

解:(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,依题意得

D(0,4,0),F(2,4,2),A1(0,0,8),E(2,3,0)

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,是平面A1ADD1的一个法向量,

=(2,0,0),=(2,3,-8)

∴cos<>==

故直线A1E与平面AA1DD1所成角的正弦值为(4分)

(2)证明:易知 =(2,4,2),=(-2,-3,8),=(-2,1,0),

于是 =0,=0,因此AF⊥A1E,AF⊥ED,又A1E∩ED=E,

所以AF⊥平面A1ED.(8分)

(3)设平面EFD的法向量 =(x,y,z)

,即

不妨令X=1,可得 =(1,2,-1)由(2)可知,为平面A1ED的一个法向量.

于是cos ==

所以二面角A1-ED-F的余弦值为 (12分)

解析

解:(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,依题意得

D(0,4,0),F(2,4,2),A1(0,0,8),E(2,3,0)

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,是平面A1ADD1的一个法向量,

=(2,0,0),=(2,3,-8)

∴cos<>==

故直线A1E与平面AA1DD1所成角的正弦值为(4分)

(2)证明:易知 =(2,4,2),=(-2,-3,8),=(-2,1,0),

于是 =0,=0,因此AF⊥A1E,AF⊥ED,又A1E∩ED=E,

所以AF⊥平面A1ED.(8分)

(3)设平面EFD的法向量 =(x,y,z)

,即

不妨令X=1,可得 =(1,2,-1)由(2)可知,为平面A1ED的一个法向量.

于是cos ==

所以二面角A1-ED-F的余弦值为 (12分)

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简答题

如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.

(Ⅰ)证明B1C1⊥CE;

(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值.

(Ⅲ)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.

正确答案

(Ⅰ)证明:以点A为原点建立空间直角坐标系,如图,

依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).

=0.

所以B1C1⊥CE;

(Ⅱ)解:

设平面B1CE的法向量为

,即,取z=1,得x=-3,y=-2.

所以

由(Ⅰ)知B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面CEC1

为平面CEC1的一个法向量,

于是=

从而==

所以二面角B1-CE-C1的正弦值为

(Ⅲ)解:

 0≤λ≤1,

为平面ADD1A1的一个法向量,

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,

=

=

于是

解得.所以

所以线段AM的长为

解析

(Ⅰ)证明:以点A为原点建立空间直角坐标系,如图,

依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).

=0.

所以B1C1⊥CE;

(Ⅱ)解:

设平面B1CE的法向量为

,即,取z=1,得x=-3,y=-2.

所以

由(Ⅰ)知B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面CEC1

为平面CEC1的一个法向量,

于是=

从而==

所以二面角B1-CE-C1的正弦值为

(Ⅲ)解:

 0≤λ≤1,

为平面ADD1A1的一个法向量,

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,

=

=

于是

解得.所以

所以线段AM的长为

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简答题

如图,平面PAC⊥平面ABC,AC⊥BC,△PAC为等边三角形,PE∥CB,M,N分别是线段AE,AP上的动点,且满足:==λ(0<λ<1).

(Ⅰ)求证:MN∥平面ABC;

(Ⅱ)求λ的值,使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45°.

正确答案

解:(Ⅰ) 证明:由,得MN∥PE,

又依题意PE∥BC,所以MN∥BC.

因为MN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,

所以MN∥平面ABC.     

(Ⅱ)由(Ⅰ)知MN∥BC,故C、B、M、N共面,平面ABC与平面MNC所成的锐二面角即N-CB-A.

因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,且CB⊥AC,

所以CB⊥平面PAC.故CB⊥CN,即知∠NCA为二面角N-CB-A的平面角.

所以∠NCA=45°.在△NCA中运用正弦定理得,

=

所以

解析

解:(Ⅰ) 证明:由,得MN∥PE,

又依题意PE∥BC,所以MN∥BC.

因为MN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,

所以MN∥平面ABC.     

(Ⅱ)由(Ⅰ)知MN∥BC,故C、B、M、N共面,平面ABC与平面MNC所成的锐二面角即N-CB-A.

因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,且CB⊥AC,

所以CB⊥平面PAC.故CB⊥CN,即知∠NCA为二面角N-CB-A的平面角.

所以∠NCA=45°.在△NCA中运用正弦定理得,

=

所以

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简答题

如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.

(I)求证:EF⊥B1C;

(II)求二面角E-FC-D的正切值;

(III)求三棱锥F-EDC的体积.

正确答案

证明:(I)由正方体的几何特征可得:

∵B1C⊥AB,B1C⊥BC1,AB∩B1C=B

∴B1C⊥平面ABC1D1

∴B1C⊥BD1

又∵EF∥BD1

∴EF⊥B1C.…(6分)

(II)∵点F为DB的中点,且ABCD为正方形,

∴CF⊥BD.

又DD1⊥平面ABCD,

∴DD1⊥CF.

而DD1∩DB=D,

∴CF⊥平面BDD1B1

又EF⊂平面BDD1B1

∴CF⊥EF,故∠EFD为二面角E-FC-D的平面角.

在Rt△EFD中,DE=1,DF=

∴tan∠EFD==

因而二面角二面角E-FC-D的正切值为. …(9分)

(III)∵DE=1,FC=DF=

∴VF-EDC=VE-FDC=×DE××DF×FC=

解析

证明:(I)由正方体的几何特征可得:

∵B1C⊥AB,B1C⊥BC1,AB∩B1C=B

∴B1C⊥平面ABC1D1

∴B1C⊥BD1

又∵EF∥BD1

∴EF⊥B1C.…(6分)

(II)∵点F为DB的中点,且ABCD为正方形,

∴CF⊥BD.

又DD1⊥平面ABCD,

∴DD1⊥CF.

而DD1∩DB=D,

∴CF⊥平面BDD1B1

又EF⊂平面BDD1B1

∴CF⊥EF,故∠EFD为二面角E-FC-D的平面角.

在Rt△EFD中,DE=1,DF=

∴tan∠EFD==

因而二面角二面角E-FC-D的正切值为. …(9分)

(III)∵DE=1,FC=DF=

∴VF-EDC=VE-FDC=×DE××DF×FC=

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题型:简答题
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简答题

在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,BC⊥AC,EF∥AC,AB=,EF=EC=1.

(1)求证:AF∥平面BDE;

(2)求证:DF⊥平面BEF;

(3)求二面角A-BF-E的余弦值.

正确答案

(1)证明:设AC与BD交与点O.

∵EF∥AO,且EF=1,AO=AC=1.

∴四边形AOEF为平行四边形,

∴AF∥EO,

∵EO⊂面BDE,AF⊄面BDE,∴AF∥面BDE.…(3分)

(2)证明:∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,且CE⊥AC,∴CE⊥面ABCD,

连接FO,∵正方形ABCD的边长为,∴AC=BD=2;

直角梯形ACEF中,FO∥EC,且FO=1,DF=BF=,DE=BE=,则BF⊥EF,

由BF=DF=,BD=2可知BF⊥DF,

∵EF∩DF=F

∴DF⊥平面BEF;…(7分)

(3)解:取BF中点M,BE中点N,连接AM、MN、AN,

∵AB=BF=AF=,∴AM⊥BF,

又∵MN∥EF,EF⊥BF,∴MN⊥BF,

∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角.

AM=AB=,MN=EF=

在Rt△APN中,可得AN2=AP2+NP2=

∴在△AMN中,可得cos∠AMN==-,…(12分)

解析

(1)证明:设AC与BD交与点O.

∵EF∥AO,且EF=1,AO=AC=1.

∴四边形AOEF为平行四边形,

∴AF∥EO,

∵EO⊂面BDE,AF⊄面BDE,∴AF∥面BDE.…(3分)

(2)证明:∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,且CE⊥AC,∴CE⊥面ABCD,

连接FO,∵正方形ABCD的边长为,∴AC=BD=2;

直角梯形ACEF中,FO∥EC,且FO=1,DF=BF=,DE=BE=,则BF⊥EF,

由BF=DF=,BD=2可知BF⊥DF,

∵EF∩DF=F

∴DF⊥平面BEF;…(7分)

(3)解:取BF中点M,BE中点N,连接AM、MN、AN,

∵AB=BF=AF=,∴AM⊥BF,

又∵MN∥EF,EF⊥BF,∴MN⊥BF,

∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角.

AM=AB=,MN=EF=

在Rt△APN中,可得AN2=AP2+NP2=

∴在△AMN中,可得cos∠AMN==-,…(12分)

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题型:简答题
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简答题

一个多面体的直观图(正视图、侧视图,俯视图)如图所示,M,N分别为A1B,B1C1的中点.

(1)求证:MN∥平面ACC1A1

(2)求证:MN⊥平面A1BC;

(3)求二面角A-A1B-C的大小.

正确答案

解:由题意可知,这个几何体是直三棱柱,且AC⊥BC,AC=BC=CC1

(1)连接AC1,AB1,由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1

所以AA1⊥A1B1,则四边形ABB1A1为矩形,

由矩形的性质得AB1过A1B的中点M.

在△AB1C1中,由中位线性质得MN∥AC1

又AC1⊂ACC1A1,MN⊈ACC1A1

所以MN∥平面ACC1A1

(2)因为BC⊥平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1

所以BC⊥AC1

在正方形ACC1A1中,A1C⊥AC1

又BC∩A1C=C,

所以AC1⊥平面A1BC,

由MN∥AC1,得MN⊥平面A1BC.

(3)过点C作CD⊥AB与D.再过点D作DE⊥A1B,

连接CE,

∵AC=BC;

∴CD⊥AB由其为直棱柱⇒CD⊥平面ABB1A1

则∠CED即为所求二面角的平面角.

又CD=AB=a,tan∠ABA1===⇒DE=a,

∴tan∠CED==,即∠CED=60°,

故二面角A-A1B-为60°.

解析

解:由题意可知,这个几何体是直三棱柱,且AC⊥BC,AC=BC=CC1

(1)连接AC1,AB1,由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1

所以AA1⊥A1B1,则四边形ABB1A1为矩形,

由矩形的性质得AB1过A1B的中点M.

在△AB1C1中,由中位线性质得MN∥AC1

又AC1⊂ACC1A1,MN⊈ACC1A1

所以MN∥平面ACC1A1

(2)因为BC⊥平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1

所以BC⊥AC1

在正方形ACC1A1中,A1C⊥AC1

又BC∩A1C=C,

所以AC1⊥平面A1BC,

由MN∥AC1,得MN⊥平面A1BC.

(3)过点C作CD⊥AB与D.再过点D作DE⊥A1B,

连接CE,

∵AC=BC;

∴CD⊥AB由其为直棱柱⇒CD⊥平面ABB1A1

则∠CED即为所求二面角的平面角.

又CD=AB=a,tan∠ABA1===⇒DE=a,

∴tan∠CED==,即∠CED=60°,

故二面角A-A1B-为60°.

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题型:填空题
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填空题

如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,已知测得从D、C到库底与水坝的交线的距离分别为米、CB=10米,AB的长为10米,CD的长为米,则库底与水坝所成的二面角的大小为______ 度.

正确答案

135

解析

解:如图所示,

=+

,∴

=+

解得,∴

∴库底与水坝所成的二面角=180°-45°=135°.

故答案为135°.

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题型:简答题
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简答题

如图,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,

(1)求证:AG⊥平面BGC;

(2)求二面角B-AC-G的正弦值.

正确答案

(1)证明:∵G是矩形ABEF的边EF的中点

∴AG=BG==2

∴AG2+BG2=AB2

∴AG⊥BG

又∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,

且BC⊥AB

∴BC⊥平面ABEF,

又∵AG⊂平面ABEF,

∴BC⊥AG

∵BC∩BG=B

∴AG⊥平面BGC;

(2)解:作GM⊥AB于M,则M为AB中点,M为G的射影

作GH⊥AC于H,连接MH,则所求角∠GHM

∵GM=a,MH==a

∴GH=a

∴sin∠GHM==

解析

(1)证明:∵G是矩形ABEF的边EF的中点

∴AG=BG==2

∴AG2+BG2=AB2

∴AG⊥BG

又∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,

且BC⊥AB

∴BC⊥平面ABEF,

又∵AG⊂平面ABEF,

∴BC⊥AG

∵BC∩BG=B

∴AG⊥平面BGC;

(2)解:作GM⊥AB于M,则M为AB中点,M为G的射影

作GH⊥AC于H,连接MH,则所求角∠GHM

∵GM=a,MH==a

∴GH=a

∴sin∠GHM==

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题型:填空题
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填空题

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为AB的中点,则二面角B-CA1-P的大小为______

正确答案

解析

解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,

建立空间直角坐标系,

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,

C(0,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),

P(2,1,0),=(2,-2,2),=(2,0,0),=(2,-1,0),

设平面BCA1的法向量=(x,y,z),

,取y=1,得=(0,1,1),

设平面PCA1的法向量=(a,b,c),

,取a=1,得=(1,2,1),

设二面角B-CA1-P的平面角为θ,

cosθ=|cos<>|===

∴θ=

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

在等腰梯形ABCD中,AB=3,AD=BC=2,CD=1,E为AB上的点且AE=1,将△AED沿DE折起到A1ED的位置,使得二面角A1-CD-E的平面角为30°.

(1)求证:DE⊥A1B;

(2)求二面角B-A1C-D的余弦值.

正确答案

解:(1)证明:如左图,因为在等腰梯形ABCD中,AB=3,CD=1,AE=1,所以DE⊥AB,∴如右图中,DE⊥A1E,DE⊥BE,∴DE⊥面A1EB,故DE⊥A1B,

(2)如图建立空间直角坐标系,设E1A与X轴所的角为θ,则A1(cosθ,-sinθ,0),B(0,2,0),C(0,1,),D(0,0,),设平面A1CD的法向量为=(x,y,z),平面BCDE的法向量为=(1,0,0),则

令z=1,则=(),∵cos<>=,∴=,解得cosθ=1,即θ=0

此时,点A1在X轴上,A1(1,0,0),=(-1,2,0),=(,0,1),设平面A1BC的法向量为=(x,y,z),则

,令y=1,得=(2,1,),故cos<>==

结合图形,可得二面角B-A1C-D为钝角,故二面角的余弦值为-

解析

解:(1)证明:如左图,因为在等腰梯形ABCD中,AB=3,CD=1,AE=1,所以DE⊥AB,∴如右图中,DE⊥A1E,DE⊥BE,∴DE⊥面A1EB,故DE⊥A1B,

(2)如图建立空间直角坐标系,设E1A与X轴所的角为θ,则A1(cosθ,-sinθ,0),B(0,2,0),C(0,1,),D(0,0,),设平面A1CD的法向量为=(x,y,z),平面BCDE的法向量为=(1,0,0),则

令z=1,则=(),∵cos<>=,∴=,解得cosθ=1,即θ=0

此时,点A1在X轴上,A1(1,0,0),=(-1,2,0),=(,0,1),设平面A1BC的法向量为=(x,y,z),则

,令y=1,得=(2,1,),故cos<>==

结合图形,可得二面角B-A1C-D为钝角,故二面角的余弦值为-

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