热门试卷

解：（1）如图，以CA所在直线为ix轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立平面直角坐标系．

则A（2，0，0），B（0，2，0），A1（2，O，c），B1（0，2，c），C1（0，0，c）

∴=（-2，0，c），=（2，-2，c）

∴cos＜，＞===

∴c=4，∴CC1=4

S三棱柱ABC-A1B1C1=AC•BC•CC1=×2×2×4=8

（2）∵D为线段A1B1的中点，∴D（1，1，4）

∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，

∴为平面A1B1C1的法向量．=（0，0，4）

设平面AC1D的法向量为=（x，y，z）

∵=（-2，0，4），=（-1，1，4）

∴-2x+4z=0，-x+y+4z=0

令z=1，则x=2，y=-2，∴=（2，-2，1）

cos＜，＞==

∴平平面A1B1C1的法向量与平面AC1D的法向量所成角为arccos，

有图知，平平面A1B1C1的法向量与平面AC1D的法向量所成角即为二面角A-C1D-A1，

∴二面角A-C1D-A1的大小为arccos．

（1）证明：取PD中点为M，连ME，MF．

∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线．

∴MECD．

∵F是AB中点且由于ABCD是菱形，ABCD．

∴MEFB，∴四边形MEBF是平行四边形．

∴BE∥MF．

∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．

（2）∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴DF⊥PA．

∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．

∵F是AB中点，∴DF⊥AB．

∵PA、AB是平面PAB内的两条相交直线，∴DF⊥平面PAB．

∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．

（3）以A为原点，垂直于AD、AP的方向为x轴，AD、AP的方向分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，

易知P（0，0，1），C（，3，0），D（0，2，0），

F（，，0）．∴，．

由（2）知DF⊥平面PAB，

∴=（，-，0）是平面PAB的一个法向量．

设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z）．

则，令y=，解得x=-1，z=2，∴．

设平面PAB与平面PCD所成的锐角为θ，

则=．

∴θ=600

∴平面PAB与平面PCD所成的锐角为600．

（1）证明：在△PAB中，PA=2a，PB=2a，AB=2a

∴PB2=PA2+AB2，∴PA⊥AB，

同理可证：PA⊥AE．

又AB∩AE=A，AB⊂平面ABCDE，AE⊂平面ABCDE

∴PA⊥平面ABCDE．

（2）过E作EH⊥AD于H，EF⊥PD于F，连接FH，

则EH⊥平面PAD，FH⊥PD．

∴∠EFH为二面角A-PD-E的平面角．

又在Rt△AED和Rt△POE中，EH•AD=AE•DE，EF•PD=DE•PE．

∴EH=a，EF=a．

∴sin∠EFH==．

故二面角A-PD-E的正弦值为．

证明：（1）因为AB⊥侧面BB1C1C，故AB⊥BC1，

在△BC1C中，由余弦定理有：

=，

故有BC2+BC12=CC12∴C1B⊥BC，

而BC∩AB=B且AB，BC⊂平面ABC，

∴C1B⊥平面ABC；

（2）∵AB⊥面BB1C1C

过点E作EG⊥BB1于点G，过点G作GH⊥AB1于点H，则∠EHG为所求二面角的平面角，设CE=x，则，得

在面ABB1A1中，

所以，得x=1，即E为中点

解：（1）如图7取CD的中点G，连结EG，FG．

∵E，G分别为AB，CD的中点，

∴EG∥AD，FG∥VD．

∵EG⊄面VAD，AD⊂面VAD，∴EG∥面VAD…（2分）

同理可得FG∥面VAD

又∵EG∩FG=G，所以面EFG∥面VAD．…（3分）

∵EF⊂面EFG，∴EF∥面VAD．…（4分）

（2）（法一）过点V作VO⊥面ABCD于O，则由正四棱锥的定义可知O为正方形ABCD的中心．

取BC的中点H，连结OH，VH，则OH=2

设VO=h，则，设点E到面VBC的距离为h‘．

∵

又

由VV-BCE=VE-VBC得…7分

∵直线VE与面VBC所成角为，

设直线VE与面VBC所成角为θ，

则…（8分）

∵，故有，解得h=2．…（9分）

过O作OG⊥VD于G，连结DE交AC于M，连结GM．

∵VO⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，故VO⊥AC

又∵AC⊥BD，VO∩BD=O，∴AC⊥面VBD…（10分）

∵VD⊂面VBD，∴AC⊥VD

∵OG⊥VD，OG∩AC=O

∴VD⊥面OGM，故VD⊥GM

∴∠OGM为二面角B-VD-E的平面角．…（11分）

由条件可知，故…（12分）

在Rt△ABG中，

故

在△ADM中，由正弦定理有．

所以，在Rt△MDO中，…（13分）

∴，

故所求的二面角B-VD-E的大小为．…（14分）

（法二：向量法）

以O为坐标原点，OE，OH，OV所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则B（2，2，0），C（-2，2，0），E（2，0，0），D（-2，-2，0），V（0，0，h）…（5分）

设面VBC的一个法向量为，则

由得

取y=h，则x=0，z=2

故面VBC的一个法向量为…（7分）

∵，设与面VBC所成角为

则

即，解得h=2…（9分）

∵VO⊥AC，AC⊥BD，VO∩BD=O，

故AC⊥面VBD，

故面VBD的一个法向量为…（11分）

设面EVD的一个法向量为

由得，取x=1，则y=-2，z=1，

∴…（13分）

设二面角E-VD-B的大小为φ，

则

故．…（14分）

解：（1）证明：由AA1=AD=AB，及∠A1AD=∠A1AB=60°

⇒△A1AD、△AA1B都是正三角形，从而AA1=A1D=A1B，

设A1 在底面ABCD的射影为O，则由斜线长相等推出射影长也相等，

所以O是Rt△ABD的外心，

因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点，

所以O是底面正方形ABCD的中心．

所以四棱锥A1-ABCD是正四棱锥．

（2）解：由DB⊥平面AA1O⇒截面BB1D1D⊥平面AA1O

⇒点O与侧棱AA1的距离d等于AA1和截面BB1D1D之间的距离．

取AA1的中点M，则OM∥A1C，且OM⊥AA1，OM=A1C=a，

∴所求距离为a．

（3）解：注意到所求二面角的棱是B1B，

由M是AA1的中点⇒MB⊥AA1，B1B∥AA1⇒MB⊥B1B，

又DB⊥AA1，AA1∥B1B⇒DB⊥B1B，

∴∠MBD是所求二面角的平面角．不妨设AB=a=2，则BD=2，MB=MD=，

∴tanMBD=．

∴侧面A1ABB1与截面B1BDD1的夹角为arctan．