热门试卷

解：①连接B1H，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF⊥BH

又BB1⊥平面ABCD，∴BH是B1H在平面ABCD的射影，∴B1H⊥EF

∴∠B1HB是二面角B1-EF-B的平面角--------------------------------------------2′

显然tan∠B1HB=-----------------------------4′

∴∠B1HB=arctan

即二面角B1-EF-B的大小为arctan-------------------------------------------5′

②∵D1M在平面ABCD的射影为BD又BD⊥EF，∴D1M⊥EF--------------------7′

连接A1M，D1M在平面A1ABB1的射影为A1M

由△A1M B1≌△B1BE知A1M⊥B1E

∴D1M⊥B1E----------------------------------------------------------------------------------9′

又B1E∩EF=E，∴D1M⊥平面B1EF---------------------------------------------------10′

（若用向量法证，相应给分）

③设B1H∩D1M于N，由②知D1N⊥平面B1EF

∴D1N的长即为D1到平面B1EF的距离

连接B1D1，则在Rt△B1D1M中

D1N=-----------------------------------------------------14′

解：（1）如图所示，

∵棱长AB=，AA1=1，

∴=2，

∵截面AB1C1D为正方形，

∴AD=2．

∴A（2，0，0），B（2，，0），B1，C1．

=，=（-2，0，1），=（0，0，1）．

设平面ABC1的法向量为=（x，y，z），则，可得=（1，0，2）．

∴点B1到平面ABC1的距离d===；

（2）=，=（-2，0，0），

设平面AB1C1的法向量为=（x1，y1，z1），

则，可得=，

∴===-，

∴二面角B-AC1-B1的正弦值==．

∴二面角B-AC1-B1的正弦值为．

（1）证明：由直棱柱的性质可得，AA1⊥平面ABC

∴AA1⊥AB

∵在△ABC中AB=1，AC=，BC=2，AB2+AC2=BC2

∴AB⊥AC又AC∩AA1=A

∴AB⊥平面ACC1A1，

又∵A1C⊂平面ACC1A1

∴AB⊥A1C

（2）解：连接A1C，A1B

由已知可得

取A1C的中点D，连接AD，BD可得AD⊥A1C，BD⊥A1C

∴∠ADB是二面角A-A1C-B的平面角，

由（1）AB⊥平面ACC1A1可得AB⊥AD

在等腰，在等腰Rt，

又在Rt为所求二面角的余弦值

解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，

AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=A

C1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1

由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D

故答案为：平行．

解：（Ⅰ）证明：连接AB1，∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，且AB=BB1，∴A1B⊥AB1

又∵AC1⊥平面A1BD，∴A1B⊥AC1…∴A1B⊥平面AB1C1，∴B1C1⊥A1B，

又∵B1C1⊥BB1，∴B1C1⊥平面ABB1A1

（Ⅱ）假设存在点E满足题设，过E作EF∥B1C1交BB1于F，

由（Ⅰ）知EF⊥平面ABB1A1，

过F作FG⊥A1B于G，连接EG，则EG⊥A1B∴∠FGE就是二面角E-A1B-A的平面角

设AB=BB1=a，∵AC1⊥A1D，D为AC中点，∴，⇒B1C1=EF=a．∴

设BF=x，Rt△A1B1B∽Rt△FGB即．∴当E为CC1的中点时满足题设．

（I）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，

∴CB⊥平面ABEF．

∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，…（2分）

又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．         …（3分）

∵AF⊂平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF．…（4分）

（II）解：根据（Ⅰ）的证明，有AF⊥平面CBF，

∴FB为AB在平面CBF内的射影，因此，∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角                   …（6分）

∵AB∥EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，

过点F作FH⊥AB，交AB于H．

AB=2，EF=1，则．

在Rt△AFB中，根据射影定理AF2=AH•AB，得AF=1．       …（8分）

∴，∴∠ABF=30°．

∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°．                         …（9分）

（Ⅲ）解：设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．

设AD=t（t＞0），则点D的坐标为（1，0，t），则 C（-1，0，t），

∴…（10分）

设平面DCF的法向量为，则，，即

令，解得x=0，y=2t，∴…（12分）

由（I）可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一个法向量为，

依题意与的夹角为60°，∴，即，解得

因此，当AD的长为时，平面与DFC平面FCB所成的锐二面角的大小为60°．…（14分）