热门试卷

解：（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，

∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，

∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC，

∵AE⊥PB，PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC，

∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC；

（2）∵BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，

结合AB⊥BC，可得∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，

∵Rt△PAB中，PA=AB=2，∴∠PBA=45°，

由此可得二面角P-BC-A的大小为45°；

（3）由（1）AE⊥平面PBC

又∵AF⊥PC

∴EF⊥PC（三垂线定理逆定理）

∴△PEF∽△PCB

∴=，∴S△PEF=S△PBC=，

∴VP-AEF=VA-PEF=××=．

解：（Ⅰ）根据题意，可得△ABC为直角三角形，

∵△ABC的内切圆半径r==2，-----（1分）

∴直三棱柱ABC-A‘B'C'的高等于r=1，-----------------------------（2分）

∵△A'B'C'是两条直角边分别为3、4的直角三角形，

∴直三棱柱ABC-A′B′C′的体积；-----------（5分）

（Ⅱ）如图，以A为原点，AB、AC、AA'为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，，

设平面AB'C的法向量，

则，取x=1，得y=0，z=-4，所以--------------------（7分）

再设，由算出，可得；-------------（10分）

而，设平面ABP的法向量，

则，取y'=1，可得；-------------------------------（12分）

∴==，

再根据图形，得二面角B-AP-C为钝角，即二面角B-AP-C的平面角与互为补角

因此，二面角B-AP-C的余弦值等于．------------------------------------（14分）

解：（Ⅰ）取BC的中点H，连接PH，连接AH交BD于E．

∵BC=PB=PC，∴PH⊥BC．

又面PBC⊥面ABCD，

∴PH⊥面ABCD．

∵，

∴∠HAB=∠DBC．

∵∠DBC+∠DBA=90°，

∴∠HAB+∠DBA=90°

∠AEB=90°，即AH⊥BD．

因为AH为PA在平面ABCD上的射影，∴PA⊥BD．

（Ⅱ）连接PE，则由（Ⅰ）知PE⊥BD．

∴∠PEH为所求二面角的平面角．

在△DBC中，由，求得．

∴．

即所求二面角的正切值为．

解：（1）因为四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，

则CD⊥侧面PAD

∵PC⊥面AMN，PC⊥AM，CD⊥AM，PC∩CD=C，AM⊥面PCD，AM⊥PD

即AM与PD所成的角为90°．

（2）由（1）知M为PD的中点，

由题意建立如图所示的空间直角坐标系，

可得A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1），

则=（2，0，0），

∵PC⊥平面AMN，∴=（2，2，-2），

则cos＜，＞==，

即二面角P-AM-N的余弦值为．

（3）∵CD∥AB，

∴直线AB与平面AMN所成角，即为CD与平面AMN所成角

∵cos＜，＞==，

∴sin＜，＞=，

直线CD与平面AMN所成角的余弦值=sin＜，＞=．

证明：（1）由三视图可知P-ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA=PB=PC=PD

连接AC，BD交于点O，连接PO，

因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，

即BD⊥PA；（6分）

解：（2）由三视图可知，，假设存在这样的D点

因为AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角，（8分）

△PDO中，，则∠PDO=60°，△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．

所以DP⊥OQ，（11分）

=（12分）

（I）证明：∵AC⊥PE，AC⊥EF，又PE∩EF=E，∴AC⊥平面PEF，

∵AC⊂平面ABC，∴平面PEF⊥平面ABC，

∵平面PEF∩平面ABC=EF，PH⊥EF，PH⊂平面PEF，

∴PH⊥平面ABC．

（II）解：∵PE⊥AC，EF⊥AC

∴∠PEF为二面角P-AC-B的平面角，∴∠PEF=60°

∴EH=PE=，PH=DE，DH=

以D为原点，DA，DC所在直线分别为x，y轴，DA的长度为单位长度，建立空间直角坐标系，则DC=，A（1，0，0），B（1，，0），C（0，，0）

∴AC=，DE==，

∴DH==，PH=DE=

作HM⊥AD于M，HN⊥CD于N

∵∠ADF=∠DCA

∴HM=DHsin∠ADF=DHsin∠DCF=，DM==1

∴H（1，，0），P（1，，）

∴，

设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则由，可得

∴可取=（0，1，1）

设直线DP与平面PBC所成角的大小为θ，则sinθ=||=

∴θ=45°

∴直线DP与平面PBC所成角的大小为45°；

（III）PE=DE=，∴PH=DE=

∴=•

∵a+b=2

∴a2+b2=（a+b）2-2ab=4-2ab

由，当且仅当a=b=1时，（ab）max=1

∴V=•=•=•≤•=

即当且仅当a=b=1时，四面体P-ABC体积的最大值为．

解：（Ⅰ）如图，将三棱柱的侧面展开，

可知当D为BB‘中点时，AD+DC'最小，最小值为．（4分）

（Ⅱ）因为AA'⊥底面ABC，∠CAB=60°，在底面上过点A作AB的垂线，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示．

所以，所以，（6分）

设面ADC'的一个法向量为．

则，

不妨令x=1，则．（8分）

因为平面ABB′A′A的一个法向量为（0，1，0），

设面ADC′和面ABB′A′所成的锐二面角为α，则cosα==，

∴α=arccos．

（Ⅰ）证明：如图，

∵CE∥AB，AB⊥AD，∴CE⊥AD，

又∵PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，∴PA⊥CE

又∵PA∩AD=A，∴CE⊥平面PAD．

（Ⅱ）解：由CE⊥AD，∴△CED为直角三角形，又∠CDA=45°，

∴ED=CE=1，又AD=3，则AE=2，∴BC=2，

则直角梯形ABCD的面积为，

所以，=．

（Ⅲ）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则各点坐标分别为：A（0，0，0），P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0）．

，，，

设平面PBC的法向量，平面PCD的法向量为

则，即，不妨取z=1，则，

，即，不妨取y1=1，则z1=3，x1=1，

∴．

∴===．

所以，二面角B-PC-D的余弦值的绝对值为．

证明：（1）直线AD与BC是异面直线，（1分）

法一（反证法）假设直线AD与BC共面为α．

∵EF⊥BC，∠ABC=90°，

∴EF∥AB，EF⊄α，AB⊂α．

∴EF∥α，又EFCD∩α=CD

∴EF∥CD．

∴CD∥AB

这与ABCD为梯形矛盾．故假设不成立．即直线AD与BC是异面直线．

法二：在FC上取一点M，使FM=ED，又FM∥ED，

∴EFMD是平行四边形．

∴DM∥EF，又EF∥AB

∴DM∥AB，

则DM，AB确定平面α，B∈α，C∉α，AD⊂α

∴BC与AD是异面直线．

解：（2）延长CD，EF，相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，

∴ED=2，CF=4，设AB=x，则△NDE中，NE=x，

∵AE⊥EF，平面ABFE⊥平面EFCD，

∴AE⊥平面EFCD．过E作EH⊥DN于H，连接AH，

则AH⊥DN．

∴∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，

则∠AHE=60°．

∵NE=x，DE=2

∴HE=，AE=2，

∴tan∠AHE===

∴x=，

此时在△EFC中，EF=，FC=4

∴EC=3，．又AE⊥平面EFCD，

∴∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角，

∴tan∠ACE==

即当直线AC与平面EFCD所成角为arctan时，二面角A-DC-E的大小为60°．