热门试卷

解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，

又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，

因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD．

（Ⅱ）因为直棱柱ABC-A1B1C1，所以AA1⊥CD，

由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，

又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，

设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，

CD=，A1D=，DE=，A1E=3

故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，

又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D-A1C-E的平面角，

在△A1DC中，DF==，EF==，

所以二面角D-A1C-E的正弦值．sin∠DFE=．

解：

（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于O，连接SO；

∵四棱锥S-ABCD是正四棱锥，且底面是正方形；

∴OB，OC，OS三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的直角坐标系；

设OB=1，由已知可得：A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（-1，0，0），S（0，0，），P（）；

∴；

∴；

∴AC⊥SD；

（Ⅱ）SO⊥底面ABCD；

∴为平面DAC的一条法向量；

设平面PAC的法向量为，则：；

∴；

∴，取x=1，则；

设二面角P-AC-D的大小为θ，则：

cosθ=；

∴；

即二面角P-AC-D的大小为；

（Ⅲ）假设在侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，则：

和平面PAC的法向量垂直；

E在棱SC上，∴设E（）；

∴；

∴；

∴存在点E（）使BE∥平面PAC；

此时，．

解：如图，

（1）∵B1B∥A1A，

∴B1B与平面角A1BD所成角可转化为求A1A与平面A1BD所成角，设为θ，

∵BD⊥AC且BD⊥A1A，∴BD⊥平面A1AO，

又∵BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面A1AO，∴A1A在平面A1BD上的射影落在A1O上，

则θ=∠AA1O，∴所求角的余弦值为cosθ===；

（2）BD⊥A1O，C1O⊥BD，∴∠A1OC1为二面角A1-BD-C的平面角，

在△A1OC1中，由余弦定理可得cos∠A1O C1=．

解：（Ⅰ）如图，过点E 作 EH⊥BC于H，连接HD，

∴EH=．

∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，

平面ABD∩平面BCE=BC，

∴EH⊥平面ABCD，

又∵FD⊥平面ABCD，FD=，

∴FD∥EH．FD=EH

∴四边形EHDF 为平行四边形．

∴EF∥HD

∵EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD

（Ⅱ）连接HA 由（Ⅰ），得H 为BC 中点，

又∠CBA=60°，△ABC 为等边三角形，

∴AH⊥BC，

分别以HB，HA，HE 为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz．

则 B（1，0，0），F（-2，，），E（0，0，），A（0，，0）

=（-3，，），=（-1，，0），=（-1，0，），

设平面EBF 的法向量为=（x，y，z）．

由 得

令z=1，得=（，2，1）．

设平面ABF的法向量为=（x，y，z）．

由 得

令y=1，得=（，1，2）

cos＜，＞====

故二面角A-FB-E的余弦值是．

（Ⅰ）证明：∵，N是BC的中点，

∴AD=NC，又AD∥BC，

∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN=DC．

又∵等腰梯形，∴AN=AB．

又∠ABC=60°，

∴△ABN是等边三角形．

∴，

∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°．

∴AC⊥AB．

∵平面C′BA⊥平面ABC，

∴AC⊥平面ABC′．

（Ⅱ）证明：∵AD∥BC，AD′∥BC′，

AD′∩AD=A，BC∩BC′=B，

∴平面ADD′∥平面BCC′，

∴C′N∥平面ADD′．

（Ⅲ）∵AC⊥平面ABC′，

同理AC′⊥平面ABC，建立如图如示坐标系

设AB=1，

则B（1，0，0），C，，，

则，．

设平面C′NC的法向量为，

则，即，

令z=1，则x=，y=1，得．

∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC．

又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC=AN，

∴BD⊥平面C′AN，

设BD与AN交于点O，O则为AN的中点，O．

所以平面C′AN的法向量．           

∴=．

由图形可知二面角A-C′N-C为钝角．

所以二面角A-C′N-C的余弦值为．

（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．

由ABC-A1B1C1是正三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．

又AD⊥BC，所以D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，

因为A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1；

（2）解：过D作AC的垂线，垂足为H，过D作AC1的垂线，垂足为N，连接NH，则∠DNH为截面ADC1与侧面ACC1A1所成的二面角

∵在△ADC1中，AD=，DC1=，AC1=2，∴∠ADC1=90°，∴DN==

∵DH⊥AC，∴DH=，∴NH=，

∴tan∠DNH==；

（3）解：设B1到平面ADC1的距离为h，则

∵

∴=

∴h=