热门试卷

解：（I）由已知可得CC1=，CE=C1F=，

EF2=AB2+（AE-BF）2，EF=C1E=，

于是有EF2+C1E2=C1F2，CE2+C1E2=C1C2，

所以EF⊥C1E，C1E⊥CE．又EF∩CE=E，

所以C1E⊥平面CEF

由CF⊂平面CEF，故CF⊥C1E；

（II）在△CEF中，由（I）可得EF=CF=，CE=，

于是有EF2+CF2=CE2，所以CF⊥EF，

又由（I）知CF⊥C1E，且EF∩C1E=E，所以CF⊥平面C1EF

又C1F⊂平面C1EF，故CF⊥C1F

于是∠EFC1即为二面角E-CF-C1的平面角

由（I）知△C1EF是等腰直角三角形，所以∠EFC1=45°，即所求二面角E-CF-C1的大小为45°

证明：（1）连CG，FG，则四边形DEGC是平行四边形，得到DF∥CG

DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC

所以FD∥平面ABC；

（2）设二面角B-FC-G的大小为α

易知BG⊥平面FCG，所以△FCG为△BFC的射影

∴cosα=

∴tanα=

（Ⅰ）证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，

连接OG，因为点G为FC中点，所以OG为△AFC的中位线，

所以OG∥AF…（2分）

∵AF⊄面BDG，OG⊂面BDG，

所以AF∥面BDG．…（4分）

（Ⅱ）解：取AD中点M，BC的中点Q，连接MQ，

则MQ∥AB∥EF，所以MQFE共面，

作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，则EN∥FP且EN=FP，

∵AE=DE=BF=CF，AD=BC，∴△ADE和△BCF全等，

∴EM=FQ，∴△ENM和△FPQ全等，

∴MN=PQ=1∵BF=CF，Q为BC中点，∴BC⊥FQ，

又BC⊥MQ，FQ∩MQ=Q，∴BC⊥面MQFE，

∴PF⊥BC，∴PF⊥面ABCD，…（6分）

以P为原点，PF为z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则A（3，1，0），B（-1，1，0），C（-1，-1，0），

设F（0，0，h），则，，

∵AF⊥CF，∴

设面ABF的法向量，

∵，

∴由，

令z1=1，得…（8分）

设面CBF的法向量，

∵，，

∴由，

令z2=1，得…（10分）

∴

设二面角A-BF-C的平面角为θ，

则．…（12分）

（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD

∴AD⊥BC

∵BD⊥BC，BD∩AD=D

∴BC⊥平面ABD

∵DE⊂平面ABD

∴DE⊥BC

∵DE⊥AB，AB∩BC=B

∴DE⊥平面ABC；

（Ⅱ）过点D作DF⊥AC，连接EF，则

∵DE⊥平面ABC，

∴EF⊥AC

∴∠DFE为平面BAC与平面DAC夹角

在直角△ADC中，AD=2，DC=，∴，∵AD×DC=AC×DF，∴

在直角△ADC中，AD=2，BD=1，∴，∵AD×DB=AB×DE，∴

∴

∴

解：（Ⅰ）当D为AC中点时，有AB1∥平面BDC1，

证明：连接B1C交BC1于O，连接DO∵四边形BCC1B1是矩形

∴O为B1C中点又D为AC中点，从而DO∥AB1，

∵AB1⊄平面BDC1，DO⊂平面BDC1∴AB1∥平面BDC1

（Ⅱ）建立空间直角坐标系B-xyz如图所示，则B（0，0，0），A（，1，0），C（0，2，0），D（，，0），C1（0，2，2），

所以=（，，0），=（0，2，2）．

设=（x，y，z）为平面BDC1的法向量，则有，即

令Z=1，可得平面BDC1的一个法向量为=（3，-，1），

而平面BCC1的一个法向量为=（1，0，0），

所以cos＜，＞===，故二面角C-BC1-D的余弦值为．

证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，MN⊂底面ABCD

∴MN⊥PA   又MN⊥AD   且PA∩AD=A

∴MN⊥平面PAD  …（3分）

MN⊂平面PMN∴平面PMN⊥平面PAD  …（4分）

解：（Ⅱ）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA=A∴BC⊥平面PBA

∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角

即…（7分）

在Rt△PBC中，PC=BC：sin∠BPC=

∴…（9分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知   PM⊥MN   MQ⊥MN

∴∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角  …（11分）

而

∴…（13分）

解：（Ⅰ）连结BF，由题意得

∵BC∥AD且BC=AD，EF∥AD且EF=AD，

∴四边形BCEF是平行四边形，得CE∥BF．

又∵CE⊄平面ABGF，BF⊂平面ABGF，

∴CE∥平面ABGF．

（II）分别以AB、AD、AF为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系

设AB=AD=AF=2，可得BC=EF=1

可得C（2，1，0），D（0，2，0），E（0，1，2），G（1，0，2）

∴=（-2，1，0），=（-2，0，2）

设=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，

可得，取x=1，得y=2，z=1

∴=（1，2，1），同理得到=（1，1，1）是平面CEG的一个法向量

∵cos＜，＞===

∴结合题意二面角G-CE-D是钝二面角，可得二面角G-CE-D的余弦值为-．

证明：（1）如图建立直角坐标系，其为C为坐标原点，

题意A（2，0，0），B（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，2，2），C1（0，0，2）．

∵，∴∴AB1⊥BC1

解：（2）设的一个法向量，

由得

令

∵，∴点B到平面AB1C1的距离．

（3）解设是平面A1AB1的一个法向量

由

∴令

∵，

∴二面角C1-AB-A1的大小为60°．

解：（1）证明：等边三角形△ACD中AD=DC，AD为⊙O的切线，A为切点，

∴DO⊥AC且E为AC中点    （2分）

以AC为折痕将△ACD翻折到图（2）的△ACP位置时，

仍有PE⊥AC，OE⊥AC

∴AC⊥平面PEO  （4分）

∴AC⊥PO        （5分）

（2）过P作PK⊥EO于K，连接KA，KB，KC，

∵AC⊥平面PEO

∴AC⊥PK

∴PK⊥平面⊙O（7分）

∵PA=PC

∴KA=KC

∵图（1）中∠ADC=60°，AB=2为⊙O的直径，AD为⊙O的切线，A为切点，

∴Rt△ACB中，AC=AD=DC=AP=PC=，BC=1

∴VP-ABC=AC•BC•PK=PK= （8分）

∴PK=

∴KA=KC=1

∴K，O重合

∴PO⊥平面⊙O（10分）

∴PA=PB=PC=，OA=OB=OC=BC=1

过B作BF⊥平面PAC于F，过B作BG⊥PC于G，连接FG

则PC⊥平面BFG，

∴FG⊥PC

∴∠BGF就是二面角A-PC-B的平面角（11分）

由三棱锥P-ABC的体积VP-ABC==BF•S△PAC=•（）2•BF

得BF=（12分）

等腰三角形PBC中，BG=

∴sin∠BGF==

∴二面角A-PC-B的正弦值的正弦值为．（14分）