热门试卷

（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，

∵O为BD中点，E为PD中点，

∴EO∥PB，（2分）

EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）

（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，

∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，

∴CD⊥平面AMD，

∵二面角D-AE-C为60°，

∴∠CMD=60°，

∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，

∴PD=2，

E为PD的中点．AE=1，

∴DM=，

CD==．

三棱锥E-ACD的体积为：==．

解：（Ⅰ）连接B1C，设B1C与BC1交于点E，连接DE，由正三棱柱性质知E为B1C中点，

又D为AC的中点，∴DE是△CAB1的中位线，

∴DE∥AB1，

又DE⊂平面BDC1，AB1⊄平面C1BD，∴AB1∥平面C1BD．

（Ⅱ）∵D为AC的中点，由正三棱柱性质知，BD⊥侧面AC1，CC1⊥平面ABC，故∠C1DC=θ即为二面角C-DB-C1的平面角，

∵，

在△CDC1中，，∴，

故二面角C-DB-C1的余弦值为．

（Ⅰ） 证明：由，得MN∥PE，

又依题意PE∥BC，所以MN∥BC．

因为MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以MN∥平面ABC．     

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知MN∥BC，故C、B、M、N共面，平面ABC与平面MNC所成的锐二面角即N-CB-A．

因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且CB⊥AC，

所以CB⊥平面PAC．故CB⊥CN，即知∠NCA为二面角N-CB-A的平面角．

因为，所以N是PC的中点，

因为△PAC为等边三角形，

所以∠NCA=30°，即平面ABC与平面MNC所成的锐二面角为30°．

解：设正方体的边长为2，

由于P为AD的中点，

则BP=PD1=，

取BD1的中点E，连接PE，则PE⊥BD1，

由于AB⊥平面ADD1A1，

则AB⊥AD1，

过E在三角形ABD1中，作EF⊥BD1，

交AD1于F，连接FP，

则∠FEP即为二面角A-BD1-P的平面角．

在三角形BD1P中，PE==，

EF=D1Etan∠BD1A==，

D1F==，AF=2=，

FP==．

在三角形FEP中，

cos∠FEP=

=．

则∠FEP=30°．

即有二面角A-BD1-P的大小为30°．

解：（1）∵D为AB的中点，且△PDB是等边三角形，

∴三角形PAD为直角三角形，且∠APB=90°，

PA⊥PB，

∵PA⊥PC，PB∩PC=P，

∴PA⊥平面PBC，

∴PA⊥BC，

∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC，

∵AC∩BC=C，

∴BC⊥平面PAC，

∵BC⊂平面ABC，

∴平面PAC⊥平面ABC；

（2）取AP的中点F，连结DF，则DF∥PB，

即DF⊥PA，

过F作FE⊥AC于E，则E为AC的中点，

则∠DFE为二面角D-AP-C的平面角，

∵BC=4，AB=20，

∴DE=2，DB=PB=10，

则DF=5，AC=，PA=，PC=，EF=

由余弦定理得，cos==，

则sin∠DFE====．

解：（1）证明：由已知DO⊥平面ABC，

∴平面ADB⊥平面ABC，

又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面ADB，

又∵AD⊂平面ADB，∴BC⊥AD，

又∵AD⊥DC，∴AD⊥平面BDC　　　　

（2）由（1）得AD⊥BD，

由已知AC=2，得，AD=1，

∴BD=1，∴O是AB的中点，

过D作DE⊥AC于E，连接OE，则OE⊥AC．

∴∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，

因为，

∴．

∴．

即二面角D-AC-B的大小为．

（3）取AC的中点G，连接OG，以O为原点，分别以GO、OB、OD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，．

∴．

设AC与BD所成的角为α，

则，∴α=60°．

即异面直线AC与BD所成角的大小为60°．

（由D在平面ABC上的射影一定要落在，平面图形ABCD中，过D点与AC垂直的直线上，由平面几何知识可得O为AB中点）

（I）证明：如图所示，取AD的中点M，连接MP，MB．又P为DF的中点．

∴，

又∵，

∴，

∴四边形BMPE为平行四边形，

∴PE∥BM，

而PE⊄平面ABCD，BM⊂平面ABCD，

∴PE∥平面ABCD；

（II）解：连接AC，在△ABC中，BC=AB，∠CBA=，

由余弦定理可得：AC2=BC2+AB2-2BC•ABcos∠CBA==AB2，

∴AC=AB，

∴△ABC是等腰直角三角形，AC⊥AB．

∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，

∴AC⊥平面ABEF．

分别以AB，AF，AC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设AB=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），E（1，1，0），C（0，0，1），D（-1，0，1），F（0，2，0）．

∴=（2，1，-1），=（1，2，-1）．

设平面DEF的法向量为=（x，y，z），

则，∴，

令x=1，则y=1，z=3．

∴=（1，1，3）．

取平面ABCD的一个法向量=（0，1，0），则===．

∴平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为．

解：（Ⅰ）证明：取AD的中点M，连接MH，MG．

∵G、H、F分别是AE、BC、BE的中点，

∴MH∥AB，GF∥AB，

∴MH∥GF，即G、F、H、M四点共面，平面FGH即平面MGFH，

又∵△ADE中，MG是中位线，∴MG∥DE

∵DE⊄平面MGFH，MG⊂平面MGFH，

∴DE∥平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．

（Ⅱ）在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．

以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．

可得A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），E（2，-2，0），G（，-1，0），F（，1，0）

∴=（0，2，0），=（0，-4，2），=（，-5，0）． 

由=λ=（0，2λ，0），可得=+=（，2λ-5，0）．

设平面PBD的法向量为=（x，y，z），

则，取y=，得z=2，x=5-2λ，

∴=（5-2λ，，2），

又∵平面ABP的一个法向量为=（0，0，1），

∴cos＜＞===cos=，解之得λ=1或4

即λ的值等于1或4．