- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
如图:二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,AB与l所成角为45°,则AB与平面β所成角的正弦值是______.
正确答案
解析
解:过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线,垂足为D.
连结AD,根据三垂线定理可得AD⊥l,
因此,∠ADC为二面角α-l-β的平面角,∠ADC=60°
又∵AB与l所成角为45°,∴∠ABD=45°
连结BC,可得BC为AB在平面β内的射影,
∴∠ABC为AB与平面β所成的角.
设AD=2x,则Rt△ACD中,AC=ADsin60°=,
Rt△ABD中,AB==2
∴Rt△ABC中,sin∠ABC==
=
故答案为:.
(2011•宣城二模)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,FA⊥平面ABCD,EF∥BC,FA=2,AD=3,∠ADE=45°,点G是FA的中点.
(1)求证:EG⊥平面CDE;
(2)求二面角B-CE-G的余弦值.
正确答案
证明:(1)∵EF∥BC,AD∥BC,∴EF∥AD.
在四边形ADEF中,由FA=2,AD=3,∠ADE=45°,可证得EG⊥DE,
又由FA⊥平面ABCD,得AF⊥CD,
∵正方形ABCD中CD⊥AD,∴CD⊥平面ADEF,
∵EG⊂平面ADEF,∴CD⊥EG,
∵CD∩DE=D,∴EG⊥平面CDE;…(6分)
(2)以AB、AD、AF为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
则B(3,0,0)、C(3,3,0)、E(0,1,2)、G(0,1,1).
、
、
,
分别求得平面BCE与平面CEG的一个法向量,
,
向量与
的夹角的余弦值为
∴二面角B-CE-G的余弦值为.
解析
证明:(1)∵EF∥BC,AD∥BC,∴EF∥AD.
在四边形ADEF中,由FA=2,AD=3,∠ADE=45°,可证得EG⊥DE,
又由FA⊥平面ABCD,得AF⊥CD,
∵正方形ABCD中CD⊥AD,∴CD⊥平面ADEF,
∵EG⊂平面ADEF,∴CD⊥EG,
∵CD∩DE=D,∴EG⊥平面CDE;…(6分)
(2)以AB、AD、AF为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
则B(3,0,0)、C(3,3,0)、E(0,1,2)、G(0,1,1).
、
、
,
分别求得平面BCE与平面CEG的一个法向量,
,
向量与
的夹角的余弦值为
∴二面角B-CE-G的余弦值为.
如图(1),在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠C=90°,CD=2AB=2,∠D=60°,E为DC中点,将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形AB′C′E,
如图(2).
(I)求证:EA⊥B′B;
(II)线段B′C′上是否存在点M,使得EM∥平面DB′B,若存在,确定点M的位 置;若不存在,请说明理由;
(III)求平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小.
正确答案
解:(Ⅰ)证明:∵CD=CD=2AB=2,∴CE=AB,又AB∥CD,且∠C=90°,∴四边形ABCD为矩形.∴AB⊥EA,EA⊥AB′,又AB∩B′=A,∴EA⊥平面ABB′,
∵BB′⊂平面ABB′,∴EA⊥B′B;
(Ⅱ)解:存在.当M为B′C′的中点时,EM∥平面DB′B.理由如下:设AE与BD交于N,连结B′N.
∵AB∥DE且AB=DE,
∴四边形ABED为平行四边形,∴N为AE的中点.
∵M为B′C′中点,四边形AB′C′E为矩形,∴MB′∥EN,MB′=EN.
∴四边形MB′NE为平行四边形,∴EM∥B′N,
又∵EM⊄平面DBB′,B′N⊂平面DBB′,
∴EM∥平面DB′B.
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD,建立空间直角坐标系,E-xyz,如图所示
则D(1,0,0),B′0,,1),E(0,0,0),C(-1,0,0)
所以=(-1,
,1),
=(-2,0,0)
设面DCB′的法向量为=(x,y,z),则
,⇒
不妨设=(0,1,
)…(10分)
设面AB′B的法向量=(0,1,0),
所以cos=
=
所以平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小为60°…(12分).
解析
解:(Ⅰ)证明:∵CD=CD=2AB=2,∴CE=AB,又AB∥CD,且∠C=90°,∴四边形ABCD为矩形.∴AB⊥EA,EA⊥AB′,又AB∩B′=A,∴EA⊥平面ABB′,
∵BB′⊂平面ABB′,∴EA⊥B′B;
(Ⅱ)解:存在.当M为B′C′的中点时,EM∥平面DB′B.理由如下:设AE与BD交于N,连结B′N.
∵AB∥DE且AB=DE,
∴四边形ABED为平行四边形,∴N为AE的中点.
∵M为B′C′中点,四边形AB′C′E为矩形,∴MB′∥EN,MB′=EN.
∴四边形MB′NE为平行四边形,∴EM∥B′N,
又∵EM⊄平面DBB′,B′N⊂平面DBB′,
∴EM∥平面DB′B.
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD,建立空间直角坐标系,E-xyz,如图所示
则D(1,0,0),B′0,,1),E(0,0,0),C(-1,0,0)
所以=(-1,
,1),
=(-2,0,0)
设面DCB′的法向量为=(x,y,z),则
,⇒
不妨设=(0,1,
)…(10分)
设面AB′B的法向量=(0,1,0),
所以cos=
=
所以平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小为60°…(12分).
如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点,PA=2,PD=AB,且平面MND⊥平面PCD.
(1)求证:MN⊥AB;
(2)求二面角P-CD-A的大小;
(3)求三棱锥D-AMN的体积.
正确答案
解:(1)∵PA⊥面ABCD,ABCD是矩形
∴∠PAC=∠PBC=90°…(2分)
又N为PC的中点,∴
∴AN=BN…(4分)
而M是AB的中点,∴MN⊥AB …(5分)
(2)由PD=AB=DC,N是PC的中点得:ND⊥PC,
又由面MND⊥面PCD得:PC⊥面MND
∴PC⊥MN∴MP=MC …(7分)
Rt△MPA≌Rt△MCB,
∴PA=BC=2
即PA=AD=2,∠PDA=45°,…(9分)
易知∠PDA为二面角P-CD-A的平面角
∴二面角P-CD-A的大小为45°…(10分)
(3)N到平面AMD的距离…(12分)
所以…(14分)
解析
解:(1)∵PA⊥面ABCD,ABCD是矩形
∴∠PAC=∠PBC=90°…(2分)
又N为PC的中点,∴
∴AN=BN…(4分)
而M是AB的中点,∴MN⊥AB …(5分)
(2)由PD=AB=DC,N是PC的中点得:ND⊥PC,
又由面MND⊥面PCD得:PC⊥面MND
∴PC⊥MN∴MP=MC …(7分)
Rt△MPA≌Rt△MCB,
∴PA=BC=2
即PA=AD=2,∠PDA=45°,…(9分)
易知∠PDA为二面角P-CD-A的平面角
∴二面角P-CD-A的大小为45°…(10分)
(3)N到平面AMD的距离…(12分)
所以…(14分)
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD是正三角形,平面PAD⊥底面ABCD.
(1)证明:AB⊥平面PAD;
(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值.
正确答案
(1)证明:∵底面ABCD是正方形,
∴AB⊥AD,
∵平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,
∴由面面垂直的性质定理得,AB⊥平面PAD;
(2)解:由题意,△PBD在面PAD上的射影为△PAD.
设AD=a,则S△PAD=,
△PBD中,PD=a,BD=a,PB=
a,∴S△PBD=
=
,
∴面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为,
∴面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为=
.
解析
(1)证明:∵底面ABCD是正方形,
∴AB⊥AD,
∵平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,
∴由面面垂直的性质定理得,AB⊥平面PAD;
(2)解:由题意,△PBD在面PAD上的射影为△PAD.
设AD=a,则S△PAD=,
△PBD中,PD=a,BD=a,PB=
a,∴S△PBD=
=
,
∴面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为,
∴面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为=
.
如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,AC=BC=4,PA=4
,则二面角A-PB-C的大小的正弦值为( )
正确答案
解析
解:如图,连接CO,∵AC=BC=4,
,∴
,∴AB⊥OC,
过O在平面PAB上作OM⊥PB于M,连接CM,由三垂线定理CM⊥PB,
∴∠OMC是二面角A-PB-C的平面角,
∵,
,所以在Rt△ABC中
,
故选C.
已知α、β为空间两个不同的平面,直线a、b为空间两条不同的直线.给出下列四个命题:
①若α∥β,a⊂α,则a∥β;
②b⊂β,a与b所成角的大小为θ,则a与β所成角的大小也为θ;
③若α⊥β,a⊥α,则a∥β;
④若a、b为异面直线,且a、b⊄α,则a、b在α上的射影为两条相交直线.其中正确命题的序号为______.(注:把你认为正确的命题序号都写上)
正确答案
①
解析
解:α、β为空间两个不同的平面,直线a、b为空间两条不同的直线.
根据面与面平行的性质定理知①正确,
b⊂β,a与b所成角的大小为θ,当两条直线与两个平面的交线垂直时,二面角等于θ,故②不正确,
若α⊥β,a⊥α,则a∥β或a⊂α,故③不正确,
若a、b为异面直线,且a、b⊄α,则a、b在α上的射影为两条相交直线,
或者是两条平行直线,或者是一线一点,故④不正确.
综上可知只有①正确,
故答案为:①
三棱锥V-ABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB=
,VC=1,D为AB中点,则下列结论错误的是( )
正确答案
解析
解:∵等腰△VAB与等腰△ABC有公共的底边AB,D为AB中点,
∴VD⊥AB且CD⊥AB,可得∠CDV就是二面角V-AB-C的平面角
∵VC=CD=VD=1,
∴△VCD是正三角形,得∠CDV=60°.故A不错;
∵VD⊥AB,CD⊥AB,VD、CD是平面VCD内的相交直线
∴AB⊥平面VCD,结合VC⊂平面VCD得AB⊥VC
即直线AB、VC所成的角为90°,故B不错;
取VC、BC的中点E、F,连结DE、DF、EF
可得∠DFE或其补角就是直线AC、VB所成的角
∵△DFE中,DE=EF=1,DE=
∴cos∠DFE==
,可得∠DFE≠60°,故C项错误;
对于D,由前面的分析可得三棱锥V-ABC的体积为
V=×S△VCD×AB=
×
=
,故D项不错
故选:C
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2
,PA=2,
=2
.
(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;
(Ⅱ)若直线PD与平面PBC所成角为,求二面角A-PB-C的大小.
正确答案
证明:(Ⅰ)设AC∩BD=0,以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,建立空间直角坐标系如图:
则A(-,0,0),C(
,0,0),P(-
,0,2),
设B(0,-a,0),D(0,a,0),
由=2
得E(
,0,
),
则=(2
,0,-2),
=(
,a,
),
=(0,2a,0),
∴•
=0,
•
=0,
∴⊥
,
⊥
,
即PC⊥平面BED;
(Ⅱ)设平面PAB的法向量为=(x,y,z),
∵=(0,0,2),
=(
,-a,0),
由,
,解得
=(1,
,0),
设平面PBC的法向量为=(x,y,z),
=(
,a,0),
=(-2
,0,2),
由•
=0,
•
=0,得
=(1,-
,
),
∵直线PD与平面PBC所成角为,
∴sin=
,解得a=
,
于是,
即,
则平面APB⊥平面PBC;
即二面角A-PB-C的大小为.
解析
证明:(Ⅰ)设AC∩BD=0,以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,建立空间直角坐标系如图:
则A(-,0,0),C(
,0,0),P(-
,0,2),
设B(0,-a,0),D(0,a,0),
由=2
得E(
,0,
),
则=(2
,0,-2),
=(
,a,
),
=(0,2a,0),
∴•
=0,
•
=0,
∴⊥
,
⊥
,
即PC⊥平面BED;
(Ⅱ)设平面PAB的法向量为=(x,y,z),
∵=(0,0,2),
=(
,-a,0),
由,
,解得
=(1,
,0),
设平面PBC的法向量为=(x,y,z),
=(
,a,0),
=(-2
,0,2),
由•
=0,
•
=0,得
=(1,-
,
),
∵直线PD与平面PBC所成角为,
∴sin=
,解得a=
,
于是,
即,
则平面APB⊥平面PBC;
即二面角A-PB-C的大小为.
如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB=90°,BE=BC,F为CE的中点,
(1)求证:AE∥平面BDF;
(2)求证:平面BDF⊥平面ACE;
(3)2AE=EB,在线段AE上找一点P,使得二面角P-DB-F的余弦值为,求AP的长.
正确答案
证明:(1)设AC∩BD=G,连接FG,易知G是AC的中点,
∵F是EC中点.
∴在△ACE中,FG∥AE,…(2分)
∵AE⊄平面BFD,FG⊂平面BFD,
∴AE∥平面BFD.…(4分)
(2)∵平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,
平面ABCD∩平面ABE=AB,
∴BC⊥平面ABE,又∵AE⊂平面ABE,
∴BC⊥AE,
又∵AE⊥BE,BC∩BE=B,
∴AE⊥平面BCE,即AE⊥BF,…(6分)
在△BCE中,BE=CB,F为CE的中点,
∴BF⊥CE,AE∩CE=E,
∴BF⊥平面ACE,
又BF⊂平面BDF,
∴平面BDF⊥平面ACE.…(8分)
(3)如图建立坐标系,设AE=1,
则B(2,0,0),D(0,1,2),C(2,0,2),F(1,0,1),
设P(0,a,0),,
,
设⊥面BDF,且
,
则由⊥
得-2x1+y1+2z1=0,
由⊥
得-x1+z1=0,
令z1=1得x1=1,y1=0,从而…(10分)
设⊥面BDP,且
,则
由⊥
得-2x2+y2+2z2=0,
由⊥
得2x2-ay2=0,
令y2=2得x2=a,z2=a-1,从而,
,
解得a=0或a=1(舍)
即P在E处.…(14分)
解析
证明:(1)设AC∩BD=G,连接FG,易知G是AC的中点,
∵F是EC中点.
∴在△ACE中,FG∥AE,…(2分)
∵AE⊄平面BFD,FG⊂平面BFD,
∴AE∥平面BFD.…(4分)
(2)∵平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,
平面ABCD∩平面ABE=AB,
∴BC⊥平面ABE,又∵AE⊂平面ABE,
∴BC⊥AE,
又∵AE⊥BE,BC∩BE=B,
∴AE⊥平面BCE,即AE⊥BF,…(6分)
在△BCE中,BE=CB,F为CE的中点,
∴BF⊥CE,AE∩CE=E,
∴BF⊥平面ACE,
又BF⊂平面BDF,
∴平面BDF⊥平面ACE.…(8分)
(3)如图建立坐标系,设AE=1,
则B(2,0,0),D(0,1,2),C(2,0,2),F(1,0,1),
设P(0,a,0),,
,
设⊥面BDF,且
,
则由⊥
得-2x1+y1+2z1=0,
由⊥
得-x1+z1=0,
令z1=1得x1=1,y1=0,从而…(10分)
设⊥面BDP,且
,则
由⊥
得-2x2+y2+2z2=0,
由⊥
得2x2-ay2=0,
令y2=2得x2=a,z2=a-1,从而,
,
解得a=0或a=1(舍)
即P在E处.…(14分)
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