• 直线、平面平行的判定及其性质
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题型:填空题
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填空题

如图:二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,AB与l所成角为45°,则AB与平面β所成角的正弦值是______

正确答案

解析

解:过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线,垂足为D.

连结AD,根据三垂线定理可得AD⊥l,

因此,∠ADC为二面角α-l-β的平面角,∠ADC=60°

又∵AB与l所成角为45°,∴∠ABD=45°

连结BC,可得BC为AB在平面β内的射影,

∴∠ABC为AB与平面β所成的角.

设AD=2x,则Rt△ACD中,AC=ADsin60°=

Rt△ABD中,AB==2

∴Rt△ABC中,sin∠ABC===

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

(2011•宣城二模)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,FA⊥平面ABCD,EF∥BC,FA=2,AD=3,∠ADE=45°,点G是FA的中点.

(1)求证:EG⊥平面CDE;

(2)求二面角B-CE-G的余弦值.

正确答案

证明:(1)∵EF∥BC,AD∥BC,∴EF∥AD.

在四边形ADEF中,由FA=2,AD=3,∠ADE=45°,可证得EG⊥DE,

又由FA⊥平面ABCD,得AF⊥CD,

∵正方形ABCD中CD⊥AD,∴CD⊥平面ADEF,

∵EG⊂平面ADEF,∴CD⊥EG,

∵CD∩DE=D,∴EG⊥平面CDE;…(6分)

(2)以AB、AD、AF为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

则B(3,0,0)、C(3,3,0)、E(0,1,2)、G(0,1,1).

分别求得平面BCE与平面CEG的一个法向量

向量的夹角的余弦值为

∴二面角B-CE-G的余弦值为

解析

证明:(1)∵EF∥BC,AD∥BC,∴EF∥AD.

在四边形ADEF中,由FA=2,AD=3,∠ADE=45°,可证得EG⊥DE,

又由FA⊥平面ABCD,得AF⊥CD,

∵正方形ABCD中CD⊥AD,∴CD⊥平面ADEF,

∵EG⊂平面ADEF,∴CD⊥EG,

∵CD∩DE=D,∴EG⊥平面CDE;…(6分)

(2)以AB、AD、AF为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

则B(3,0,0)、C(3,3,0)、E(0,1,2)、G(0,1,1).

分别求得平面BCE与平面CEG的一个法向量

向量的夹角的余弦值为

∴二面角B-CE-G的余弦值为

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题型:简答题
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简答题

如图(1),在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠C=90°,CD=2AB=2,∠D=60°,E为DC中点,将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形AB′C′E,

如图(2).

(I)求证:EA⊥B′B;

(II)线段B′C′上是否存在点M,使得EM∥平面DB′B,若存在,确定点M的位 置;若不存在,请说明理由;

(III)求平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小.

正确答案

解:(Ⅰ)证明:∵CD=CD=2AB=2,∴CE=AB,又AB∥CD,且∠C=90°,∴四边形ABCD为矩形.∴AB⊥EA,EA⊥AB′,又AB∩B′=A,∴EA⊥平面ABB′,

∵BB′⊂平面ABB′,∴EA⊥B′B;

(Ⅱ)解:存在.当M为B′C′的中点时,EM∥平面DB′B.理由如下:设AE与BD交于N,连结B′N.

∵AB∥DE且AB=DE,

∴四边形ABED为平行四边形,∴N为AE的中点.

∵M为B′C′中点,四边形AB′C′E为矩形,∴MB′∥EN,MB′=EN.

∴四边形MB′NE为平行四边形,∴EM∥B′N,

又∵EM⊄平面DBB′,B′N⊂平面DBB′,

∴EM∥平面DB′B.

(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD,建立空间直角坐标系,E-xyz,如图所示

则D(1,0,0),B′0,,1),E(0,0,0),C(-1,0,0)

所以=(-1,,1),=(-2,0,0)

设面DCB′的法向量为=(x,y,z),则,⇒

不妨设=(0,1,)…(10分)

设面AB′B的法向量=(0,1,0),

所以cos==

所以平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小为60°…(12分).

解析

解:(Ⅰ)证明:∵CD=CD=2AB=2,∴CE=AB,又AB∥CD,且∠C=90°,∴四边形ABCD为矩形.∴AB⊥EA,EA⊥AB′,又AB∩B′=A,∴EA⊥平面ABB′,

∵BB′⊂平面ABB′,∴EA⊥B′B;

(Ⅱ)解:存在.当M为B′C′的中点时,EM∥平面DB′B.理由如下:设AE与BD交于N,连结B′N.

∵AB∥DE且AB=DE,

∴四边形ABED为平行四边形,∴N为AE的中点.

∵M为B′C′中点,四边形AB′C′E为矩形,∴MB′∥EN,MB′=EN.

∴四边形MB′NE为平行四边形,∴EM∥B′N,

又∵EM⊄平面DBB′,B′N⊂平面DBB′,

∴EM∥平面DB′B.

(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD,建立空间直角坐标系,E-xyz,如图所示

则D(1,0,0),B′0,,1),E(0,0,0),C(-1,0,0)

所以=(-1,,1),=(-2,0,0)

设面DCB′的法向量为=(x,y,z),则,⇒

不妨设=(0,1,)…(10分)

设面AB′B的法向量=(0,1,0),

所以cos==

所以平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小为60°…(12分).

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题型:简答题
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简答题

 如图,已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点,PA=2,PD=AB,且平面MND⊥平面PCD.

(1)求证:MN⊥AB;

(2)求二面角P-CD-A的大小;

(3)求三棱锥D-AMN的体积.

正确答案

解:(1)∵PA⊥面ABCD,ABCD是矩形

∴∠PAC=∠PBC=90°…(2分)

又N为PC的中点,∴

∴AN=BN…(4分)

而M是AB的中点,∴MN⊥AB   …(5分)

(2)由PD=AB=DC,N是PC的中点得:ND⊥PC,

又由面MND⊥面PCD得:PC⊥面MND

∴PC⊥MN∴MP=MC   …(7分)

Rt△MPA≌Rt△MCB,

∴PA=BC=2

即PA=AD=2,∠PDA=45°,…(9分)     

易知∠PDA为二面角P-CD-A的平面角

∴二面角P-CD-A的大小为45°…(10分)

(3)N到平面AMD的距离…(12分)

所以…(14分)

解析

解:(1)∵PA⊥面ABCD,ABCD是矩形

∴∠PAC=∠PBC=90°…(2分)

又N为PC的中点,∴

∴AN=BN…(4分)

而M是AB的中点,∴MN⊥AB   …(5分)

(2)由PD=AB=DC,N是PC的中点得:ND⊥PC,

又由面MND⊥面PCD得:PC⊥面MND

∴PC⊥MN∴MP=MC   …(7分)

Rt△MPA≌Rt△MCB,

∴PA=BC=2

即PA=AD=2,∠PDA=45°,…(9分)     

易知∠PDA为二面角P-CD-A的平面角

∴二面角P-CD-A的大小为45°…(10分)

(3)N到平面AMD的距离…(12分)

所以…(14分)

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题型:简答题
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简答题

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD是正三角形,平面PAD⊥底面ABCD.

(1)证明:AB⊥平面PAD;

(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值.

正确答案

(1)证明:∵底面ABCD是正方形,

∴AB⊥AD,

∵平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,

∴由面面垂直的性质定理得,AB⊥平面PAD;

(2)解:由题意,△PBD在面PAD上的射影为△PAD.

设AD=a,则S△PAD=

△PBD中,PD=a,BD=a,PB=a,∴S△PBD==

∴面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为

∴面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为=

解析

(1)证明:∵底面ABCD是正方形,

∴AB⊥AD,

∵平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,

∴由面面垂直的性质定理得,AB⊥平面PAD;

(2)解:由题意,△PBD在面PAD上的射影为△PAD.

设AD=a,则S△PAD=

△PBD中,PD=a,BD=a,PB=a,∴S△PBD==

∴面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为

∴面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为=

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题型: 单选题
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单选题

如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,AC=BC=4,PA=4,则二面角A-PB-C的大小的正弦值为(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解:如图,连接CO,∵AC=BC=4,,∴,∴AB⊥OC,

过O在平面PAB上作OM⊥PB于M,连接CM,由三垂线定理CM⊥PB,

∴∠OMC是二面角A-PB-C的平面角,

,所以在Rt△ABC中

故选C.

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题型:填空题
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填空题

已知α、β为空间两个不同的平面,直线a、b为空间两条不同的直线.给出下列四个命题:

①若α∥β,a⊂α,则a∥β;

②b⊂β,a与b所成角的大小为θ,则a与β所成角的大小也为θ;

③若α⊥β,a⊥α,则a∥β;

④若a、b为异面直线,且a、b⊄α,则a、b在α上的射影为两条相交直线.其中正确命题的序号为______.(注:把你认为正确的命题序号都写上)

正确答案

解析

解:α、β为空间两个不同的平面,直线a、b为空间两条不同的直线.

根据面与面平行的性质定理知①正确,

b⊂β,a与b所成角的大小为θ,当两条直线与两个平面的交线垂直时,二面角等于θ,故②不正确,

若α⊥β,a⊥α,则a∥β或a⊂α,故③不正确,

若a、b为异面直线,且a、b⊄α,则a、b在α上的射影为两条相交直线,

或者是两条平行直线,或者是一线一点,故④不正确.

综上可知只有①正确,

故答案为:①

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题型: 单选题
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单选题

三棱锥V-ABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB=,VC=1,D为AB中点,则下列结论错误的是(  )

A二面角V-AB-C为60°

B直线AB、VC所成的角为90°

C直线AC、VB所成的角为60°

D三棱锥V-ABC的体积为

正确答案

C

解析

解:∵等腰△VAB与等腰△ABC有公共的底边AB,D为AB中点,

∴VD⊥AB且CD⊥AB,可得∠CDV就是二面角V-AB-C的平面角

∵VC=CD=VD=1,

∴△VCD是正三角形,得∠CDV=60°.故A不错;

∵VD⊥AB,CD⊥AB,VD、CD是平面VCD内的相交直线

∴AB⊥平面VCD,结合VC⊂平面VCD得AB⊥VC

即直线AB、VC所成的角为90°,故B不错;

取VC、BC的中点E、F,连结DE、DF、EF

可得∠DFE或其补角就是直线AC、VB所成的角

∵△DFE中,DE=EF=1,DE=

∴cos∠DFE==,可得∠DFE≠60°,故C项错误;

对于D,由前面的分析可得三棱锥V-ABC的体积为

V=×S△VCD×AB=×=,故D项不错

故选:C

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题型:简答题
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简答题

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2,PA=2,=2

(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;

(Ⅱ)若直线PD与平面PBC所成角为,求二面角A-PB-C的大小.

正确答案

证明:(Ⅰ)设AC∩BD=0,以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,建立空间直角坐标系如图:

则A(-,0,0),C(,0,0),P(-,0,2),

设B(0,-a,0),D(0,a,0),

=2得E(,0,),

=(2,0,-2),=(,a,),

=(0,2a,0),

=0,=0,

即PC⊥平面BED;

(Ⅱ)设平面PAB的法向量为=(x,y,z),

=(0,0,2),=(,-a,0),

,解得=(1,,0),

设平面PBC的法向量为=(x,y,z),

=(,a,0),=(-2,0,2),

=0,=0,得=(1,-),

∵直线PD与平面PBC所成角为

∴sin=,解得a=

于是

则平面APB⊥平面PBC;

即二面角A-PB-C的大小为

解析

证明:(Ⅰ)设AC∩BD=0,以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,建立空间直角坐标系如图:

则A(-,0,0),C(,0,0),P(-,0,2),

设B(0,-a,0),D(0,a,0),

=2得E(,0,),

=(2,0,-2),=(,a,),

=(0,2a,0),

=0,=0,

即PC⊥平面BED;

(Ⅱ)设平面PAB的法向量为=(x,y,z),

=(0,0,2),=(,-a,0),

,解得=(1,,0),

设平面PBC的法向量为=(x,y,z),

=(,a,0),=(-2,0,2),

=0,=0,得=(1,-),

∵直线PD与平面PBC所成角为

∴sin=,解得a=

于是

则平面APB⊥平面PBC;

即二面角A-PB-C的大小为

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题型:简答题
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简答题

如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB=90°,BE=BC,F为CE的中点,

(1)求证:AE∥平面BDF;

(2)求证:平面BDF⊥平面ACE;

(3)2AE=EB,在线段AE上找一点P,使得二面角P-DB-F的余弦值为,求AP的长.

正确答案

证明:(1)设AC∩BD=G,连接FG,易知G是AC的中点,

∵F是EC中点.

∴在△ACE中,FG∥AE,…(2分)

∵AE⊄平面BFD,FG⊂平面BFD,

∴AE∥平面BFD.…(4分)

(2)∵平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,

平面ABCD∩平面ABE=AB,

∴BC⊥平面ABE,又∵AE⊂平面ABE,

∴BC⊥AE,

又∵AE⊥BE,BC∩BE=B,

∴AE⊥平面BCE,即AE⊥BF,…(6分)

在△BCE中,BE=CB,F为CE的中点,

∴BF⊥CE,AE∩CE=E,

∴BF⊥平面ACE,

又BF⊂平面BDF,

∴平面BDF⊥平面ACE.…(8分)

(3)如图建立坐标系,设AE=1,

则B(2,0,0),D(0,1,2),C(2,0,2),F(1,0,1),

设P(0,a,0),

⊥面BDF,且

则由得-2x1+y1+2z1=0,

得-x1+z1=0,

令z1=1得x1=1,y1=0,从而…(10分)

⊥面BDP,且,则

得-2x2+y2+2z2=0,

得2x2-ay2=0,

令y2=2得x2=a,z2=a-1,从而

解得a=0或a=1(舍)

即P在E处.…(14分)

解析

证明:(1)设AC∩BD=G,连接FG,易知G是AC的中点,

∵F是EC中点.

∴在△ACE中,FG∥AE,…(2分)

∵AE⊄平面BFD,FG⊂平面BFD,

∴AE∥平面BFD.…(4分)

(2)∵平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,

平面ABCD∩平面ABE=AB,

∴BC⊥平面ABE,又∵AE⊂平面ABE,

∴BC⊥AE,

又∵AE⊥BE,BC∩BE=B,

∴AE⊥平面BCE,即AE⊥BF,…(6分)

在△BCE中,BE=CB,F为CE的中点,

∴BF⊥CE,AE∩CE=E,

∴BF⊥平面ACE,

又BF⊂平面BDF,

∴平面BDF⊥平面ACE.…(8分)

(3)如图建立坐标系,设AE=1,

则B(2,0,0),D(0,1,2),C(2,0,2),F(1,0,1),

设P(0,a,0),

⊥面BDF,且

则由得-2x1+y1+2z1=0,

得-x1+z1=0,

令z1=1得x1=1,y1=0,从而…(10分)

⊥面BDP,且,则

得-2x2+y2+2z2=0,

得2x2-ay2=0,

令y2=2得x2=a,z2=a-1,从而

解得a=0或a=1(舍)

即P在E处.…(14分)

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