热门试卷

解：（方法一）

（Ⅰ）连结A1D，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面ADD1A1为矩形，

∵A1C⊥平面MB1D1，

∴A1C⊥D1M，

因此A1C在平面AD1上的射影A1D⊥D1M，

∴△A1MD1∽△D1A1D，

∴A1M=，因此M是A1A的中点．…（6分）

（Ⅱ）引A1E⊥B1M于E，连结D1E，则A1E是

D1E在平面BA1上的射影，由三垂线定理可

知D1E⊥B1M，

∴∠A1ED1是二面角D1-MB1-B的平面角的补角，

由（Ⅰ）知，A1M=，则，

∴，

∴二面角D1-MB1-B等于．…（12分）

（方法二）

如图，在正四棱住ABCD-A1B1C1D1中，以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立空间直角坐标系A-xyz，AB=2，AA1=2，则

C（2，2，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），D1（0，2，2），

设M（0，0，Z），则=（0，2，2），=（2，2，），…（3分）

（Ⅰ）∵A1C⊥平面MB1D1，

∴A1C⊥D1M，∴，

∴，

∴，∴，

因此M是A1A的中点．…（6分）

（Ⅱ）∵A1C⊥平面MB1D1，

∴是平面MB1D1的一个法向量．

又平面A1B的一个法向量为，…（8分）

∴cos＜＞．

∵二面角D1-MB1-B是钝二面角．…（11分）

∴二面角D1-MB1-B等于．…（12分）

（Ⅰ）证明：在Rt△ABD中，tan∠ABD==，

∴∠ABD=30°，

在Rt△ABC中，tan∠BAC==，

∴∠ABC=60°，

∴∠AEB=180°-∠ABC-∠ABD=90°，即AC⊥BD，

∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴PA⊥BD，

∵AC∩AP=A，AC⊂平面APC，AP⊂平面APC，

∴BD⊥平面PAC

（Ⅱ）连结PE，∵PA⊥平面ABCD，AE⊥BD，

∴PE⊥BD，即∠PEA为二面角P-BD-A的平面角，

在Rt△ABE中，∠ABE=30°，

∴AE=AB=，

在Rt△APE中，tan∠AEP===，

∴∠AEP=arctan．

（Ⅰ）证明：因为，PA=2，PE=2EC，

故，

从而．

因为，

所以△FCE∽△PCA，∠FEC=∠PAC=90°，

由此知PC⊥EF．    …（5分）

（Ⅱ）证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC．

又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD．

由（Ⅰ）知PC⊥EF，所以PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，

所以PC⊥平面BED．

因为BE、ED在平面平面BED内，所以EB⊥PC，ED⊥PC，所以∠BED是二面角B-PC-D的平面角．   …（9分）

（Ⅲ）解：在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．

因为二面角A-PB-C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC．

又平面PAB∩平面PBC=PB．

故AG⊥平面PBC，AG⊥BC．

所以BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，

于是BC⊥AB，

所以底面ABCD为正方形，．    …（11分）

设D到平面PBC的距离为d．

因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即．

设PD与平面PBC所成的角为α，则．

所以PD与平面PBC所成的角为30°．                          …（14分）

解：（1）在Rt△B1C1D中，∠B1C1D=90°，B1C1=1，C1D=CC1=1

∴B1D=，同理BD=，

在△B1DB中，∵B1D2+BD2=B1B2，

∴∠B1DB=90°

即B1D⊥BD

又∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，

∴AB⊥平面BB1C1C，而B1D⊂平面BB1C1C，

∴B1D⊥AB

又∵AB∩D=B

∴B1D⊥平面ABD；

（2）由（Ⅰ）知BD⊥B1D，AD⊥B1D，平面AB1D∩平面BB1C1C=B1D

∴∠ADB就是平面AB1D与侧面BB1C1C的成角的平面角

在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=1，BD=

∴tan∠ADB==

∴∠ADB=arctan

即平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值为arctan

（1）证明：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高为h=3．

连接A1B交AB1于点E，连接DE，由矩形ABB1A1，可得A1E=EB．

又∵D是这个几何体的棱A1 C1的中点，∴ED是三角形A1BC1的中位线，∴ED∥BC1

∵BC1⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．

（2）解：在平面ABC内作AN⊥AB，分别以AB，AN，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

则A（0，0，0），B1（2，0，3），D（，，3），B（2，0，0）．

∴=（2，0，3），=（，，3），．

设平面AB1D的法向量为=（a，b，c），

则，令a=1，得=（1，，-）．

同理平面ABD的法向量=（0，-6，）．

∴cos＜，＞=．

解：（1）证明：如图，取AC的中点E，连接ME，EC1，则：

ME∥BC，∴ME∥B1C1；

∴ME∥NC1，且ME=NC1；

所以四边形MEC1N是平行四边形，得MN∥EC1；

又MN⊄平面AC1，EC1⊂平面AC1；

∴MN∥平面AC1；

（2）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，B1C；

由条件△ACC1和B△B1CC1都为等边三角形；

∴AO⊥CC1，B1O⊥CC1，且；

又；

∴OA⊥OB1；

∴OB1，OC1，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：

C（0，-1，0），B1（，0，0），A（0，0，），B（，-2，0）；

连接AB1，设平面CAB1的法向量为=（x1，y1，z1），=（，0，-），=（0，-1，-），则：

；

∴，取z1=1，则=（1，-，1）；

同样，设平面BAB1的法向量为=（x2，y2，z2），=（，0，-），=（0，2，0）；

∴，取z1=1，；

则cos=；

所以二面角C-AB1-B的余弦值为．