热门试卷

解法一（几何法）：

解：（1）如图，连AC，设AC∩BD=O，连接OC，OC1，

则AC⊥BD，CC1⊥BD，

∴BD⊥平面CC1O，

∴BD⊥CC1，

故∠COC1即为二面角C1-DB-C的平面角

在Rt△COC1中，CC1=1，CO=

则tan∠COC1==

故二面角C1-DB-C的正切值为

（2）设AP与面BDD1B1交于点G，连OG，

因为PC∥面BDD1B1，而BDD1B1∩面APC=OG，

故OG∥PC，

所以OG=PC=．

又AO⊥DB，AO⊥BB1，

所以AO⊥面BDD1B1，

故∠AGO即为AP与面BDD1B1所成的角

在Rt△AOG中，tan∠AGO==3

即m=．

故当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3．

解法二（向量法）

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，1，m），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1）

则=（0，0，1）为平面DBC一个法向量，

设=（x，y，z）为平面C1DB的一个法向量，则

即

则=（1，-1，1）

设二面角C1-DB-C的平面角为θ

则cosθ==

则sinθ=，tanθ=

即二面角C1-DB-C的正切值为

（2）∵=（-1，1，0），=（0，0，1），

=（-1，1，m），=-1，1，0），

又由•=0，•=0知，为平面BB1D1D的一个法向量．

设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，

则sinθ=cos（-θ）==

依题意有=，

解得m=，

故当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3．

证明：（1）∵平面AEFD⊥平面EBCF，∵，

∴AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，

又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz．

∵EA=2，∴EB=2，

又∵G为BC的中点，BC=4，∴BG=2．

则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），

∴=（-2，2，2），=（2，2，0），=（-2，2，2）•（2，2，0）=0，

∴BD⊥EG．

解：（2）∵AD∥面BFC，

所以f（x）=VD-BCF=VA-BFC===，

即x=2时f（x）有最大值为．（8分）

（3）设平面DBF的法向量为，

∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0），∴，=（-2，2，2），

则，

即，

取x=3，y=2，z=1，

∴

∵AE⊥面BCF，

∴面BCF一个法向量为，

则cos＜＞=，（14分）

由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为-．

解：（1）如图，当M为PC的中点时，PC⊥平面MDB．

事实上，连BM，DM，取AD的中点N，连NB，NP．

因为△PAD为正三角形，N为AD中点，所以PN⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PN⊥平面ABCD．

在Rt△PNA中，由PA=2，AN=1，得，

在Rt△BAN中，由AN=AB=1，得，

在Rt△PNB中，由，，

则．

在直角梯形ABCD中，由AD=CD=2AB=2，解得．

所以BM⊥PC，

又PD=DC=2，所DM⊥PC，

而MD∩BM=M，MD，BM⊂平面MDB，

所PC⊥平面MDB；

（2）由G为△PBC的重心，可知G在中线BM上，

所以二面角G-BD-C即为二面角M-BD-C．

过M作MF⊥BD于F，连CF，

因为PC⊥平面MDB，所以PC⊥BD，又MF⊥BD，MF∩PC=M

所以BD⊥面MFC，所以CF⊥BD，

故∠MFC是二面角G-BD-C的平面角．

在等腰△BDC中，，

所以．

．

所以

所以，

在Rt△PDC中，由PD=DC=2，得PC=2，则MC=．

所以，

故二面角G-BD-C的大小为．

（1）证明：∵PA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴PA⊥BC，

∵ABCD为正方形，∴BC⊥AB；

又PA∩AB=A，

∴BC⊥面PAB，

∵AN⊂面PAB，

∴BC⊥AN，

∵PA=AB，点N是PB的中点，

∴AN⊥PB，

∵PB∩BC=B，

∴AN⊥平面PBC；

（2）解：取AB中点G，连结NG，则NG∥PA，PA⊥面ABCD，

∴NG⊥面ABCD．

∵AM⊂面ABCD，

∴NG⊥AM．

过G作GF⊥AM，垂足为F，连接NF，

∵NG∩GF=G，NG⊂面NGF，GF⊂面NGF，

∴AM⊥面NGF．

∵NF⊂面NGF，

∴AM⊥NF．

∴∠NFG是二面角N-AM-B的平面角．

在Rt△NGM中，MN=5，MG=AD=3，得NG=4，

在Rt△MGA中，AG=，得AM==，GF==．

在Rt△NGF中，NF==，

∴cos∠NFG==．

∴二面角N-AM-B的余弦值为．

（Ⅰ）证明：连结CF．

∵△ABC，△PEF是正三角形且E，F为AC、AB的中点，

∴，

∴AP⊥PC．

∵CF⊥AB，PF⊥AB，CF∩PF=F，

∴AB⊥平面PCF．

∵PC⊂平面PCF，

∴PC⊥AB，

∵AB∩AP=A，

∴PC⊥平面PAB．

（Ⅱ）∵AB⊥PF，AB⊥CF，

∴∠PFC为所求二面角的平面角．

设AB=a，则AB=a，

Rt△PEF中，PF=EF=，CF=a．

∴cos∠PFC==．

（I）证明：因为PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，

又AB⊥AD，PA∩AD=A

∴AB⊥面PAD，

∵AE⊂面PAD，

∴BA⊥AE，

又AM∥CD∥EF，且AM=EF，

∴AEFM是矩形，∴AM⊥MF．

又因AE⊥PD，AE⊥CD，PD∩CD=D，故AE⊥面PCD，

∵MF∥AE，∴MF⊥面PCD，

∴MF⊥PC，

∴MF是AB与PC的公垂线．

（II）解：由（I）知AB⊥面PAD，∴∠EAD为二面角E-AB-D的平面角

∵PA⊥AD，AE⊥PD，∴∠EAD=∠APD

∵PA=2AB，∴sin∠APD==

∴二面角E-AB-D的正弦值为．

（III）解：∵EF∥CD，∴点C到平面AMFE的距离等于D到平面AMFE的距离．

∵DE⊥AE，DE⊥AB，AE∩AB=A

∴DE⊥平面AMEF

∴DE为D到平面AMFE的距离．

在直角△AED中，sin∠EAD=DE=

∴点C到平面AMFE的距离等于1．