直线、平面平行的判定及其性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如图，矩形ABCD中，DC=，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D1-AE-B的平面角的余弦值是______．

正确答案

解析

解：令点D1在平面ABC上的射影为G，过D1作D1F⊥AE于F，连接GF

则∠D1FG即为二面角D1-AE-B的平面角的平面角

又∵DC=，AD=1，DE=1，

∴D1F=AF=，∠FAG=15°，则FG=-1

则cos∠D1FG=

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

三棱锥，则二面角P-AC-B的大小为______．

正确答案

60°

解析

解：因为AB=10，BC=8，CA=6 所以底面为直角三角形

又因为PA=PB=PC= 所以P在底面的射影为直角三角形ABC的外心，为AB中点．

设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，所以DE平行BC，且DE=BC=4，所以∠PED即为二面角P-AC-B的平面角．

因为PD为三角形PAB的中线，所以可算出PD=4 所以tan∠PED== 所以∠PED=60°

即二面角P-AC-B的大小为60°

故答案为：60°．

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题型：简答题

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简答题

如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD，SD=AD，

（1）求证：平面SDB⊥平面ABCD；

（2）求二面角A-SB-D的大小．

正确答案

解：（1）∵SD⊥AD，SD⊥AB，AD∩AB=A

∴SD⊥平面ABCD，

又∵SD⊆平面SBD，

∴平面SDB⊥平面ABCD． …（5分）

（2）由题可知DS、DA、DC两两互相垂直．

如图建立空间直角坐标系D-xyz

设AD=a，则S（a，0，0），A（0，a，0），B（0，a，2a），C（0，0，2a），…（6分）

∵=（a，0，0），=（0，a，2a），…（7分）

设面SBD的一个法向量为=（x，y，-1）

则，即

解得 =（0，2，-1）…（8分）

又∵=（0，0，2a），=（-a，a，0），

设面SAB的一个法向量为=（1，y，z），

则，即

解出 =（1，，0），…（10分）

cos＜，＞==

故所求的二面角为arccos …（12分）

解析

解：（1）∵SD⊥AD，SD⊥AB，AD∩AB=A

∴SD⊥平面ABCD，

又∵SD⊆平面SBD，

∴平面SDB⊥平面ABCD． …（5分）

（2）由题可知DS、DA、DC两两互相垂直．

如图建立空间直角坐标系D-xyz

设AD=a，则S（a，0，0），A（0，a，0），B（0，a，2a），C（0，0，2a），…（6分）

∵=（a，0，0），=（0，a，2a），…（7分）

设面SBD的一个法向量为=（x，y，-1）

则，即

解得 =（0，2，-1）…（8分）

又∵=（0，0，2a），=（-a，a，0），

设面SAB的一个法向量为=（1，y，z），

则，即

解出 =（1，，0），…（10分）

cos＜，＞==

故所求的二面角为arccos …（12分）

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题型：简答题

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简答题

如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．

（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；

（2）求面GEF与面EFD所成锐二面角的大小．

正确答案

（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥CD，

∵CD⊥AD，PD∩AD=D．

∴CD⊥平面PAD，

∵CD⊂平面PCD，

∴平面PCD⊥平面PAD．

（2）解：如图以D为原点，以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．

不妨设AB=BC==2．则G（1，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1），

=（0，-1，0），=（1，1，-1）．

设平面EFG的法向量为=（x，y，z），

∴，可得，令x=1，解得z=1，y=0，

∴=（1，0，1）为平面PCD的一个法向量，

=（1，0，0）．

∴．

∴面GEF与面EFD所成锐二面角的大小45°．

解析

（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥CD，

∵CD⊥AD，PD∩AD=D．

∴CD⊥平面PAD，

∵CD⊂平面PCD，

∴平面PCD⊥平面PAD．

（2）解：如图以D为原点，以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．

不妨设AB=BC==2．则G（1，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1），

=（0，-1，0），=（1，1，-1）．

设平面EFG的法向量为=（x，y，z），

∴，可得，令x=1，解得z=1，y=0，

∴=（1，0，1）为平面PCD的一个法向量，

=（1，0，0）．

∴．

∴面GEF与面EFD所成锐二面角的大小45°．

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题型：简答题

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简答题

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB．若AB=AD=a，直线PB与CD所成角为450，

（1）求四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD；

（2）求二面角P-CD-B的大小．

正确答案

解：（1）∵AB∥CD，

∴∠PBA是PB与CD所成角即∠PBA=45°．

∴在直角△PAB中，PA=AB=a，

又S梯形ABCD==．

∴VP-ABCD=•PA•SABCD=．

（2）∵AB⊥AD，CD∥AB，

∴CD⊥AD．

又PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥CD 而PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD．

∴CD⊥PD．

∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角．

在直角△PDA中，∵PA=AD=a，

∴∠PDA=45°，

即二面角P-CD-B为450．

解析

解：（1）∵AB∥CD，

∴∠PBA是PB与CD所成角即∠PBA=45°．

∴在直角△PAB中，PA=AB=a，

又S梯形ABCD==．

∴VP-ABCD=•PA•SABCD=．

（2）∵AB⊥AD，CD∥AB，

∴CD⊥AD．

又PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥CD 而PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD．

∴CD⊥PD．

∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角．

在直角△PDA中，∵PA=AD=a，

∴∠PDA=45°，

即二面角P-CD-B为450．

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题型：简答题

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简答题

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；

（Ⅱ）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；

（Ⅲ）求证：平面MND⊥平面PCD．

正确答案

解：（Ⅰ）取CD中点E，连接ME，NE则：ME∥AD，NE∥PD，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD；

∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD，NE∩ME=E；

∴平面MNE∥平面PAD，MN⊂平面MNE；

∴MN∥平面PAD．

（Ⅱ）PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD；

∴PA⊥AB，即AB⊥PA；

又AB⊥AD，PA∩AD=A；

∴AB⊥平面PAD，CD∥AB；

∴CD⊥平面PAD，PD⊂平面PAD；

∴CD⊥PD，即PD⊥CD，又AD⊥CD，CD=平面PCD∩平面ABCD；

∴∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角；

在Rt△PAD中，∠PAD=90°，PA=AD；

∴∠PDA=45°；

∴平面PCD与平面ABCD所成二面角是45°．

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知MN∥平面PAD，CD⊥平面PAD；

∴CD⊥MN，即MN⊥CD，连接PM，CM；

∵AM=BM，PA=CB，∠PAM=∠CBM；P

∴△PAM≌△CBM，∴PM=CM，N是PC中点；

∴MN⊥PC，PD∩CD=C，PD，CD⊂平面PCD；

∴MN⊥平面PCD，MN⊂平面MNE；

∴平面MND⊥平面PCD．

解析

解：（Ⅰ）取CD中点E，连接ME，NE则：ME∥AD，NE∥PD，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD；

∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD，NE∩ME=E；

∴平面MNE∥平面PAD，MN⊂平面MNE；

∴MN∥平面PAD．

（Ⅱ）PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD；

∴PA⊥AB，即AB⊥PA；

又AB⊥AD，PA∩AD=A；

∴AB⊥平面PAD，CD∥AB；

∴CD⊥平面PAD，PD⊂平面PAD；

∴CD⊥PD，即PD⊥CD，又AD⊥CD，CD=平面PCD∩平面ABCD；

∴∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角；

在Rt△PAD中，∠PAD=90°，PA=AD；

∴∠PDA=45°；

∴平面PCD与平面ABCD所成二面角是45°．

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知MN∥平面PAD，CD⊥平面PAD；

∴CD⊥MN，即MN⊥CD，连接PM，CM；

∵AM=BM，PA=CB，∠PAM=∠CBM；P

∴△PAM≌△CBM，∴PM=CM，N是PC中点；

∴MN⊥PC，PD∩CD=C，PD，CD⊂平面PCD；

∴MN⊥平面PCD，MN⊂平面MNE；

∴平面MND⊥平面PCD．

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题型：填空题

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填空题

正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1D1-C1的大小为______．

正确答案

解析

解：如图，A1B1⊂半平面A1D1C1，

A1B1⊥A1D1；

同理易知，

BA1⊥A1D1；

故∠BA1B1是二面角B-A1D1-C1的平面角，

又∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，

∴∠BA1B1=；

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点．

（Ⅰ）证明：AM⊥PM；

（Ⅱ）求二面角P-AM-D的大小；

（Ⅲ）求点D到平面AMP的距离．

正确答案

解：（Ⅰ）取CD的中点E，连接PE、EM、EA．

∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，

∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD

∴AM⊥PE（2分）

∵四边形ABCD是矩形

∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形

由勾股定理可求得：EM=，AM=，AE=3

∴EM2+AM2=AE2

∴AM⊥EM（4分）

又PE∩EM=E∴AM⊥平面PEM

∴AM⊥PM5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知EM⊥AM，PM⊥AM

∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角（7分）

∴tan∠PME=

∴∠PME=45°

∴二面角P-AM-D为45°（（9分））

（Ⅲ）设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则

VP-ADM=VD-PAM，∴S△ADM•PE=S△PAM•d

而S△ADM=AD•CD=2在Rt△PEM中，由勾股定理可求得PM=

∴S△PAM=AM•PM=3，所以：

∴d=

即点D到平面PAM的距离为（13分）

解析

解：（Ⅰ）取CD的中点E，连接PE、EM、EA．

∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，

∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD

∴AM⊥PE（2分）

∵四边形ABCD是矩形

∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形

由勾股定理可求得：EM=，AM=，AE=3

∴EM2+AM2=AE2

∴AM⊥EM（4分）

又PE∩EM=E∴AM⊥平面PEM

∴AM⊥PM5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知EM⊥AM，PM⊥AM

∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角（7分）

∴tan∠PME=

∴∠PME=45°

∴二面角P-AM-D为45°（（9分））

（Ⅲ）设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则

VP-ADM=VD-PAM，∴S△ADM•PE=S△PAM•d

而S△ADM=AD•CD=2在Rt△PEM中，由勾股定理可求得PM=

∴S△PAM=AM•PM=3，所以：

∴d=

即点D到平面PAM的距离为（13分）

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题型：简答题

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简答题

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．PD=AD

（1）求二面角A-PB-C的余弦值；

（2）求点D到平面PAB的距离．

正确答案

解：（1）令AD=1，则AB=2．

又∠DAB=60°，由余弦定理知BD==

所以AD2+BD2=AB2，即∠ADB=90°

建立如图坐标系

则A（1，0，0）、P（0，0，1）、B（0，，0）、C（-1，，0）

设平面PAB的法向量为=（x，y，z），

∵=（1，0，-1），=（0，，-1），

∴，∴取=（，1，）

同理平面PCB的法向量为=（0，1，）

cos＜，＞=

记二面角A-PB-C的夹角为α，如图可知α为钝角

∴cosα=-，

故二面角A-PB-C的余弦值为-；

（2）由（1）知平面PAB的法向量为=（，1，）

∴=（，，）

又D（0，0，0），∴=（0，0，1）

∴D到平面PAB的距离d=||==

解析

解：（1）令AD=1，则AB=2．

又∠DAB=60°，由余弦定理知BD==

所以AD2+BD2=AB2，即∠ADB=90°

建立如图坐标系

则A（1，0，0）、P（0，0，1）、B（0，，0）、C（-1，，0）

设平面PAB的法向量为=（x，y，z），

∵=（1，0，-1），=（0，，-1），

∴，∴取=（，1，）

同理平面PCB的法向量为=（0，1，）

cos＜，＞=

记二面角A-PB-C的夹角为α，如图可知α为钝角

∴cosα=-，

故二面角A-PB-C的余弦值为-；

（2）由（1）知平面PAB的法向量为=（，1，）

∴=（，，）

又D（0，0，0），∴=（0，0，1）

∴D到平面PAB的距离d=||==

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题型：简答题

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简答题

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．

（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；

（Ⅱ）求三棱锥C-OEF的体积；

（Ⅲ）求二面角的E-BC-F大小．

正确答案

解：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，

∴CB⊥平面ABEF，

∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，…（3分）

又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，

∵CB∩BF=B，∴AF⊥平面CBF．…（6分）

（Ⅱ）由（I）知CB⊥平面ABEF，即CB⊥OEF，

∴三棱锥C-OEF的高是CB，可得CB=AD=1，…（8分）

连结0E、0F，可知0E=0F=EF=1

∴△OEF为正三角形，∴正△OEF的高等于，…（10分）

∴VC-OEF=S△0EF×CB=×（××1）×1=，…（10分）

（ III）∵CB⊥平面ABEF，BE⊂平面ABEF，BF⊂平面ABEF

∴CB⊥BE且CB⊥BF，可得∠EBF就是二面角E-BC-F的平面角

∵圆O中，∠EBF是圆周角，∠E0F是圆心角，且两个角对同弧

∴∠EBF=∠E0F=30°

因此，二面角的E-BC-F大小等于30°

解析

解：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，

∴CB⊥平面ABEF，

∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，…（3分）

又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，

∵CB∩BF=B，∴AF⊥平面CBF．…（6分）

（Ⅱ）由（I）知CB⊥平面ABEF，即CB⊥OEF，

∴三棱锥C-OEF的高是CB，可得CB=AD=1，…（8分）

连结0E、0F，可知0E=0F=EF=1

∴△OEF为正三角形，∴正△OEF的高等于，…（10分）

∴VC-OEF=S△0EF×CB=×（××1）×1=，…（10分）

（ III）∵CB⊥平面ABEF，BE⊂平面ABEF，BF⊂平面ABEF

∴CB⊥BE且CB⊥BF，可得∠EBF就是二面角E-BC-F的平面角

∵圆O中，∠EBF是圆周角，∠E0F是圆心角，且两个角对同弧

∴∠EBF=∠E0F=30°

因此，二面角的E-BC-F大小等于30°

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