热门试卷

解：取AB的中点O，连接CO，作OH⊥BD，连接CH

∵CA=CB，∴CO⊥AB

∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，

∴CO⊥平面ABD，

∵OH⊥BD

∴CH⊥BD

∴∠CHO是二面角C-BD-A的平面角

设CA=2a，则

∵∠ACB=90°，CA=CB，

∴CO=a

∵△ABD是正三角形

∴OH=

∴tan∠CHO===

证明：设二面角M-a-N内一点P，PA⊥平面M于点A，PD⊥平面N于点D，

作DC⊥a于点C，作AB⊥平面N，

∵AB∥PD，点P、A、B、C、D都在同一平面内，

∴点D在BC上，

∵AB⊥平面N、DC⊥a，∴AC⊥a，∠ACD是二面角M-a-N的平面角，

∵四边形APDC中，∠PDC=∠PAC=Rt∠，∴∠APD+∠ACD=180°

即自二面角内一点分别向两个半平面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角互补．

解：（1）连接EC，

∵E是AB的中点，∴，

又∵，∴DC∥EB且DC=EB

∴CD∥AE且CD=AE，

∴四边形ADCE为平行四边形，

又AD=DC，∴四边形ADCE是菱形．

连接AC交DE于F，连接PF，

则DE⊥AC，DE⊥PF，

∵AC∩PF=F，∴DE⊥平面PFC．

又∵PC⊂平面PFC，∴DE⊥PC．

（ 2）∵DE∥BC，DE在平面PBC外，

∴DE∥面PBC，∴D点到面PBC的距离即为点F到面PBC的距离，过点F作FG⊥PC，垂足为G，

∵DE⊥面PCF，∴BC⊥面PCF∴面PBC⊥面PCF，∴FG⊥面PBC，

∴FG的长即为点F到面PBC的距离，菱形ADCE中，AF=FC，

∴，∵∠PFC=120°，∴∠FPC=∠FCP=30°，

∴

（3）取PB的中点G，连HG，可知∠DHG为所求二面角，，，

在直角三角形DHO中，，又因为GH⊥面POC，

∴GH⊥OH．        

（或）．

解：（1）证明：正三棱柱的两底面互相平行，即平面A1B1C1∥平面ABC；

又A1B1⊂平面A1B1C1；

∴A1B1∥平面ABC；

（2）如图，取AB的中点D，连接CD，C1D；

∵AC=BC，AC1=BC1；

∴CD⊥AB，C1D⊥AB；

∴∠C1DC为二面角C-AB-C1的平面角；

根据题意，△ABC为等边三角形，边长为1，∴；

CC1⊥底面ABC，CD⊂底面ABC；

∴CC1⊥CD；

又；

∴在Rt△C1CD中，tan；

即二面角C-AB-C1的大小的正切值为2．

（Ⅰ）证明：取BC中点M，连接FM、C1M 

∵在三棱柱中，E、F分别为B1C1、AB中点

∴EC1∥AC，FM∥AC∴EC1∥FM

∴四边形EFMC1为平行四边形，则EF∥MC1    

又∵EF⊄平面BCC1B1，MC1⊂平面BCC1B

∴EF∥平面BCC1B1…（5分）

（Ⅱ）解：取AC中点N，连接EN、FN

∴EN∥CC1，FN∥BC                          

∵AB=BC=2，AC=，则AB2+BC2=AC2，即AB⊥BC

∴AB⊥FN                                   

又在直三棱柱中，CC1⊥平面ABC，则EN⊥平面ABC

∴AB⊥EN又FN∩EN=N，

∴AB⊥平面EFN，则AB⊥EF，

∴∠EFN为二面角E-AB-C的平面角，

在Rt△EFN中，tan∠EFN=，

∴∠EFN=60°，即二面角E-AB-C的平面角为60°．

（1）证明：∵N为AC的中点，M为BC的中点，

∴MN∥AB，

∵ABC-A1B1C1是三棱柱，

∴A1B1∥AB，

∴A1B1∥MN，

∵A1B1⊄平面MNC1，MN⊂平面MNC1，

∴A1B1∥平面MNC1；

（2）解：由题意，∠C1MC是二面角C1-MN-C的平面角．

∵BC=CC1=4，M为BC的中点，

∴二面角C1-MN-C的正切值为2．