热门试卷

（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，

∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD

∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD

∵CD⊂平面ECD，

∴平面ECD⊥平面PAD；

（II）解：过点D作DF⊥CE，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．

∵AD⊥AB，AD⊥PA，AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AE，从而DE=

在Rt△CBE中，CE==，

∵CD=，∴△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•sin60°=

因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=AE，

从而FG=，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG==，

所以cos∠DFG==．

解：过S点作SD⊥AC于D，过D作DM⊥AB于M，连接SM，则

∵平面SAC⊥平面ACB

∴SD⊥平面ACB

∴SM⊥AB

又∵DM⊥AB

∴∠DMS为二面角S-AB-C的平面角

在△SAC中SD=4×

在△ACB中过C作CH⊥AB于H

∵AC=4，BC=

∴AB=

∵S=AB•CH=AC•BC

∴CH=

∵DM∥CH且AD=DC

∴DM=CH=

∵SD⊥平面ACB，DM⊂平面ACB

∴SD⊥DM

在RT△SDM中，SM===，

∴cos∠DMS==．

（1）证明：如图，在EB上取点S，使ES=2SB，连接MS，NS

∵AM=2MB，EN=2NC，ES=2SB

∴NS∥BC，又BC∥AD，∴NS∥AD，AD⊂平面ADE，NS⊄平面ADE，∴NS∥平面ADE．

MS∥AE，AE⊂平面ADE，MS⊄平面ADE，∴MS∥平面ADE，又MS∩NS=S，

∴平面MNS∥平面ADE，

∴MN∥平面DAE；

（2）证明：∵AD⊥平面ABE，∴AD⊥AE，又∵AD∥BC，∴BC⊥AE，

由已知BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，而BC∩BE=B，∴AE⊥面BCE．

则AE⊥BE．

∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，

（3）解：取AB中点G，连结EG，在平面ABCD中作GH⊥AC于H，连接EH

∵AE=EB，∴EG⊥AB，由AD⊥平面ABE，知面ABCD⊥面ABE，∴EG⊥面ABCD，

∴EG⊥AC，又GH⊥AC，EG∩GH=G，∴AC⊥EGH，则∠EHG为所求二面角的平面角．

在Rt△AEB中，AE=EB=2，易得到：AB=，．

在Rt△ABC中，AC=，由△AHG∽△ABC，可得，∴．

∴在Rt△EGH中，tan∠EHG==，∴∠EHG=60°．

解：（1）∵PA⊥平面ABCD

∴PA⊥BD

∵PC⊥平面BDE

∴PC⊥BD，又PA∩PC=P

∴BD⊥平面PAC

（2）设AC与BD交点为O，连OE

∵PC⊥平面BDE

∴PC⊥平面BOE

∴PC⊥BE

∴∠BEO为二面角B-PC-A的平面角

∵BD⊥平面PAC

∴BD⊥AC

∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3

∴OC=

在△PAC∽△OEC中，

又BD⊥OE，

∴

∴二面角B-PC-A的平面角的正切值为3

证明：PA⊥平面ABCD，OD⊂平面ABCD，

∴PA⊥OD，

，AB=1，AD=2，O 是BC 的中点．

∴AB=BO=1，又四边形ABCD 为矩形，

∴∠AOD是直角

∴AO⊥OD，又PA⊥OD，PA∩AO=A，

∴DO⊥平面PAO，又DO⊂平面POD，

∴平面PAO⊥平面POD．

（2）∵平面POD∩AOD=OD，

由（1）知，DO⊥平面PAO，PO⊂平面PAO，

∴PO⊥OD，

又AO⊥OD（已证明），

∴∠PAO即为二面角P-OD-A的平面角．

∵PA=，AO=，∠PAO=，

∴tan∠POA=1，

∴∠POA=．

即二面角P-OD-A=．

解：（Ⅰ）证明：取AB的中点N，连结MN，CN；

∵底面是正三角形，

∴CN⊥AB，

又∵M为A1B1的中点，

∴MN∥AA1，

又∵AA1⊥平面ABC，

∴MN⊥平面ABC，

∴NM⊥AB，

又∵MN∩CN=N，MN⊂平面MNC，CN⊂平面MNC，

∴AB⊥平面MNC，又∵MC⊂平面MNC，

∴MC⊥AB．

（文科）（Ⅱ）三棱锥A1-ABP的体积可转化为三棱锥P-A1AB的体积，

=×4×2=4；

h=CN=4×=2，

故V=×4×2=8．

（理科）（Ⅱ）如图，取AC的中点D，连结BD，作DE⊥AP于点E，连结BE；

∵AA1⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，

∴AA1⊥BD，又∵BD⊥AC，

∴BD⊥平面ACP，

∴BD⊥AP，又∵DE⊥AP，

∴AP⊥平面BDE，

∴∠BED为二面角B-AP-C的平面角，

在Rt△BED中，

BD=4×=2，

DE=×=，

BE==，

故cos∠BED==．

故二面角B-AP-C的余弦值为．

解：（1）连接A1D，由A1B1∥CD，知D在平面A1B1C内，由A1C⊥平面EBD．

得A1C⊥EB又∵A1B1⊥BE，∴BE⊥平面A1B1C，即得F为垂足．

连接DF，则∠EDF为ED与平面A1B1C所成的角．

∵AB=BC=3，BB1=4，

∴B1C=5，BF=

∴CF=，B1F=，EF=，EC=，ED=

在Rt△EDF中，sin∠EDF=

∴ED与平面A1B1C所成角arcsin

（2）连接EO，由EC⊥平面BDC，且AC⊥BD，知EO⊥BD

∴∠EOC即为二面角E-BD-C的平面角

∵EC=，OC=

∴在Rt△EOC中，tan∠EOC==

∴二面角E-BD-C的大小为arctan