热门试卷

解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条

侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为6的

正方形，高为CC1=6，故所求体积是  …（4分）

（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，

故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，

其拼法如图2所示．

证明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的

正方形，于是  故所拼图形成立．…（4分）

（Ⅲ）设B1E，BC的延长线交于点G，

连接GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，

连接HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与

平面ABC所成二面角或其补角的平面角．

在Rt△ABG中，，

则，

，

，

故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为．…（4分）

解：（Ⅰ）∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，平面ADEF∩平面ABCD=AD

∴CD⊥DE

∵DE⊥AD，CD∩AD=D

∴DE⊥平面ABCD

∴BD⊂平面ABCD

∴BD⊥DE

∵AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，∴DB=BC=2

∵CD=4，∴DB2+BC2=DC2

∴DB⊥BC

∴DB是异面直线DE与BC的公垂线段，距离为2；

（Ⅱ）设CD的中点为M，连接BM，则BM⊥CD

由（Ⅰ）可得DE⊥BM

∵DE∩CD=D

∴BM⊥平面BCD

过M作MN⊥EC于N，连接BN，则BN⊥EC

∵∠BMN为二面角B-EC-D的平面角

∵MN=

∴在直角△BMN中，tan∠BMN==．

解：（1）过点E作PA的平行线，交AD于F，

∵PA⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD，过点F作AB的平行线，交BC于G，连接EG．则FG⊥BC，EG⊥BC，

∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，…（2分）

∵PA=4，，令EF=x，则∴

连接BF，在Rt△BEF中，BE2=BF2+EF2=AB2+AF2+EF2=9+3（4-x）2+x2

同理，连接CF，可得CE2=CF2+EF2=CD2+DF2+EF2=9+3x2+x2=9+4x2

∵BE⊥CE，∴BC2=BE2+CE2即9+3（4-x）2+x2+9+4x2=48，解之得∴，…（5分）

从而 ，∴

所以二面角E-BC-A的平面角的余弦值为．                              …（6分）

（2）令EF=x，AD=a，则，

∵BE⊥CE，∴BC2=BE2+CE2则有，

整理得，…（9分）

由△≥0，得a4-36a2-576≥0，解得，所以．            …（12分）

解：（1）由已知AD⊥AB，PD⊥AB，得AB⊥平面PAD，

又MN∥AB，∴MN⊥平面PAD，MN⊥PM，MN⊥DM

∴∠PMD为二面角P-MN-D的平面角．（3分）

由已知∠PAD=60°，得∠MPD=30°，

∵DM是Rt△PDA斜边PA上的中线，MD=MP

∴△PMD为等腰三角形，∠PMD=120°，

即二面角P-MN-D的大小为120°．（7分）

（2）显然∠DCN≠90°．若∠CDN=90°，则CD⊥平面PAN，

而CD⊥平面PAD，故平面PAN与平面PAD重合，与题意不符．

由△CDN是Rt△，则必有CN⊥DN，

连BD，设AD=a，由已知得AB=a，从而BD=a，

又PD=ADtan60°a，

∴PD=BD，得DN⊥PB，

故DN⊥平面PBC，（10分）

∴DN⊥BC，又PD⊥BC，

∴BC⊥平面PBD，

∴BD⊥BC，反之亦然．

∵AB∥CD

∴∠ABD=∠CDB，

∴Rt△BD∽Rt△CDB（12分）

∴

CD=

==．（14分）

证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1，CB=CC1=CA．

O、O1为棱AB、A1B1的中点，

∴△ABC，△A1B1C1等腰三角形，

∴OC∥O1C1，OC⊥AB，

∵OC1=O1C，AA1∥CC1

∴四边形OCC1O1为矩形，

∴AA1⊥OC，

∴OC⊥面AA1B1B，

∵OC⊂平面C1COO1，

∴平面ABB1A1⊥平面C1COO1；

（2）根据（1）可判断三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，建立坐标系如图，作EF⊥x轴，

∵OB1=OA1，∠CBA=30°

设BC=1，则EC=，BE=，AB=，

B（0，0，0），O（），A（0，，0），C（，），C1（，，1），B1（0，0，1），

=（0，，1），=（0，，0），=（，0，1），

设平面OB1C1的法向量为=（x，y，z），

∴即

令x=，y=2，z=，

∴=（-2，2，），

设平面OB1A的法向量为=（x，y，z），

根据几何图形判断BE⊥x轴

∴∥

∴可设=（1，0，0），

∵=-2，

∴cos＜，＞==．

∵二面角C1-OB1-A的时锐二面角，

∴二面角C1-OB1-A的余弦值

（Ⅰ）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是BD中点，

∵BC1=DC1，BC=DC，

∴C1O⊥BD，CO⊥BD-------------------（2分）

∵C1O∩CO=O，C1O⊂平面C1OC，CO⊂平面C1OC，

∴BD⊥平面C1OC------------------（5分）

∵BD⊂平面BDD1B1，∴平面BDD1B1⊥平面C1OC．--------------（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角---------------（11分）

则

∴在Rt△C1OC中，

故二面角C1-BD-C的正切值为．---------------（14分）

解：（1）∵VA、VB、VC两两互相垂直，∴VC⊥面VAB，VC⊥AB 

 在面VAB中，作VE垂直AB与E，连接VE，则 AB⊥面VEC，∴AB⊥EC，∴∠CEV即为二面角二面角V-AB-C的平面角，，∴∠CEV=60°，

同样地过V作VF⊥BC于F，连接 AF，则∠AFV为二面角V-BC-A 的平面角．

∵△AVB≌CVB．∴VE=VF，∴△CEV≌△AFV，∴∠AFV=∠CEV=60°

 二面角V-BC-A的大小为60°

（2）设VB=x，在直角三角形AVB中，AB×VB=AB×VE，VE=VCcot60°=，

∴ 解得x=

∴VB=．

（1）证明：取AC的中点H，连接BH，

∵AB=BC，∴BH⊥AC．

∵AF=3FC，∴F为CH的中点．

∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC．

∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF；

（2）存在这样的点N，当CN=CA时，MN∥平面DEF．

连CM，设CM∩DE=O，连OF．

由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM．

所以当CF=CN时，MN∥OF．所以CN=CA=CA

（3）解：设AB=BC=2a，B在EF上的射影为B′，则B′F=a，

∴S△DB′F==，

∵S△ABD′==

∴平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为．

（1）证明：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，

∴CD∥BQ．                                 …（1分）

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，…（2分）

∴BQ⊥平面PAD．                              …（3分）

∵BQ⊂平面MQB，

∴平面MQB⊥平面PAD．          …（4分）

（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，

∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．                …（5分）

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则Q（0，0，0），A（1，0，0），，，

由 ，且0≤λ≤1，得

∵BM⊥PC，

∴…（6分）

∴

设异面直线AP与BM所成角为θ，则cosθ==…（9分）

∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为…（10分），

（3）解：由（2）知平面BQC的法向量为…（11分）

由 ，且0≤λ≤1，得

又，

∴平面MBQ法向量为．                   …（13分）

∵二面角M-BQ-C为30°，∴，

∴．∴|QM|=…（15分）