热门试卷

解：（I）取AB中点O，连接OM，OC．

∵M为A1B1中点，

∴MO∥A1A，

又∵A1A⊥平面ABC，

∴MO⊥平面ABC，

∴MO⊥AB；

∵△ABC为正三角形，

∴AB⊥CO，

又∵MO∩CO=O，

∴AB⊥平面OMC．

又∵MC⊂平面OMC，

∴AB⊥MC．

（II）以O为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．

如图．依题意O（0，0，0），A（-2，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），M（0，0，2），P（0，2，）；

∴当P为线段CC1的中点时，MC⊥平面ABP．

取线段AC的中点D，则D（-1，，0），

易知DB⊥平面A1ACC1，

故=（3，-，0）为平面PAC的一个法向量．

又由（II）知=（0，2，-2）为平面PAB的一个法向量．

设二面角B-AP-C的平面角为α，

则|cosα|==|=．

故二面角B-AP-C的余弦值为．

解：（Ⅰ）证明：连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点，所以AM

所以MO…（1分）

由AA′⊥AK，得MO⊥AA′…（2分）

因为AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′

所以AK⊥BD′

所以MO⊥BD′…（3分）

又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交

故OM为异面直线AA‘和BD'的公垂线…（4分）

（Ⅱ）易知，S△OBC=S△OA′D′，…（10分）

且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内，点O到平面MA′D′距离h=…（11分）

VM-OBC=VM-OA′D′=VO-MA′D′=S△MA′D′h=…（14分）

（Ⅲ）取′BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′，过点N作NH⊥BC′于H，连接MH，则由三垂线定理得BC′⊥MH

从而，∠MHN为二面角M-BC′-B′的平面角…（6分）

MN=1，NH=Bnsin45°=…（7分）

在Rt△MNH中，tan∠MHN=

故二面角M-BC′-B′的正切值的大小为2…（9分）

解：由三视图知，此几何体底面是一个边长为4的正方形，两线段PA与EB垂直于底面ABCD，PA=4，EB=2，故以AB方向为X轴，以AD方向为Y轴，以AP方向为Z轴，给出图形中各点的坐标，A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0）

，P（0，0，4），E（4，0，2）

（Ⅰ）若F为PD的中点，则F（0，2，2），故=（0，2，2），=（4，4，-4），=（-4，0，0），令平面PCD的法向量为，则

，即，即，令z=1，得，故有=2，即AF与平面的法向量方向平行，∴AF⊥平面PCD；

（Ⅱ）取PC中点M，连接EM，则M（2，2，2），则=（-2，2，0），又=（-4，4，0），故=2，于是EM∥BD，又EM在面PEC内，BD不在面PEC内

∴BD∥平面PEC；

（Ⅲ）由（I），平面PCD的法向量为，

又=（4，0，-2），=（0，4，-2），令面PEC的法向量为，则，即，即z=2x=2y，令x=1，得y=1，z=2，故

故锐二面角的余弦是cosθ=||==、故θ=30°

即平面PEC与面PDC所成的锐二面角的大小为30°

（1）证明：∵E为PC的中点，DE=EC=PE

∴PD⊥DC，

∵CD⊥AD，PD∩AD=D，

∴CD⊥平面PAD，

∵PA⊂平面PAD，

∴CD⊥PA，

∵PA⊥AD，AD∩CD=D，

∴PA⊥面ABCD；…（6分）

（2）解：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，

B（1，0，0），D（0，2，0）P（0，0，a），C（2，2，0），…（7分）

平面BCD法向量=（0，0，1），平面EBD法向量…（9分）

，可得…（12分）

证明：（Ⅰ）连接BH，BD，CH相交于O，

∵底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠BAD=60°，AD=2，BC=1，

∴四边形BCDH是菱形，

则O是CH的中点，

连接OG，

∵H，G分别为AD，PC的中点，

∴OG是△PCH的中位线，

∴OG∥PH，

∵PH⊄平面GBD，OG⊂平面GBD，

∴PH∥平面GBD

（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，

∴以A为坐标原点，以AD为y轴，以垂直于AD的直线为x轴，以AP为y轴，建立空间坐标系如图：

则A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），B（，，0），C（，，0），

则G（，，），

则=（，-，-），=（-，，0），

设平面GBD的法向量为=（x，y，z），

则，

即，

令y=1，则x=，z=，

即=（，1，），则||=，

平面ABD的法向量为=（0，0，1），

则cos＜，＞===，

则sin＜，＞===，

则tan＜，＞=4，

即二面角G-BD-A平面角的正切值为4．

解：（1）∵PA⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，

∴PA⊥BC，

∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC

∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC

∵DE∥BC，∴DE⊥平面PAC，

∴∠DAE即是AD与平面PAC所成角．

建立空间直角坐标系如图，各点坐标分别为：P（0，0，1），B（0，1，0），C（），D（0，，），

E（），

∴=（0，，），=（），

∴cos＜，＞=，∴sin∠DAE=；

（2）设D点的y轴坐标为a，DE⊥AE，DE⊥PE，当A-DE-P为直二面角时，PE⊥AE，

∵=（），=（），

∴•==0，∴a=

∴E（），

∴=（，，-），∴||=．