热门试卷

解法一：

（I）证明

如图，连接AC，AC交BD于点G，连接EG．∵底面ABCD是正方形，∴G为AC的中点．

又E为PC的中点，∴EG∥PA．∵EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB   …（4分）

（II）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DB，PD⊥DC，PD⊥DB．

又∵BC⊥DC，PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．∴PC是PB在平面PDC内的射影．

∵PD⊥DC，PD=DC，点E是PC的中点，∴DE⊥PC．

由三垂线定理知，DE⊥PB．

∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．   …（8分）

（III）

∵PB⊥平面EFD，∴PB⊥FD．又∵EF⊥PB，FD∩EF=F，∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角．…（10分）

∵PD=DC=BC=2，∴PC=DB=2，DE=PC=

∵PD⊥DB，

∴PB==2

DF==

由（II）知：DE⊥PC，DE⊥PB，PC∩PB=P，∴DE⊥平面PBC．

∵EF⊂平面PBC，∴DE⊥EF．

在Rt△DEF中，sin∠EFD==

∴∠EFD=60°．

故所求二面角C-PB-D的大小为60°．  …（12分）

解法二：

如图，以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，得以下各点坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

C（0，2，0），P（0，0，2）…（1分）

（I）证明：

连接AC，AC交BD于点G，连接EG．∵底面ABCD是正方形，∴G为AC的中点．G点坐标为（1，1，0）．

又E为PC的中点，E点坐标为（0，1，1），

∴=（2，0，-2），=（1，0，-1）

∴=2

∴PA∥EG

∵EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，

∴PA∥平面EDB   …（4分）

（II）证明：

=（2，2，-2），=（0，1，1）

∴•=0

∴PB⊥DE

又∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，

∴PB⊥平面EFD．

（III）∵PB⊥平面EFD，∴PB⊥FD．

又∵EF⊥PB，FD∩EF=F，∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角．…（10分）

设点F的坐标为（x，y，z），则=（x，y，z-2），=（x，y，z）

∵PF∥PB，DF⊥PB

∴=k，•=0，即：

x=y=（-z-2）=2k，x+y-z=0

解得：k=，x=y=，z=

∴点F的坐标为（，，）

=（-，-，-），=（-，，-）

∵cos∠EFD==

∴∠EFD=60°．故所求二面角C-PB-D的大小为60°．  …（12分）

（I）证明：（1）连接CD1∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形

∴A1D1∥AD，AD∥BC，A1D1=AD，AD=BC；

∴A1D1∥BC，A1D1=BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形；

∴A1B∥D1C（3分）

∵点E、F分别是棱CC1、C1D1的中点；

∴EF∥D1C

又∴EF∥A1B又∵A1B⊂平面A1DB，EF⊂面A1DB；∴EF∥平面A1BD（6分）

（II）连接AC交BD于点G，连接A1G，EG

∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形

∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，EC⊥BC，EC⊥DC，AD=AB，BC=CD

∵底面ABCD是菱形，∴点G为BD中点，∴A1G⊥BD，EG⊥BD

∴∠A1GE为直二面角A1-BD-E的平面角，∴∠A1GE=90°（3分）

在棱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，∴∠ABC=120°，

∴AC==2

∴AG=GC=（10分）

在面ACC1A1中，△AGA1，△GCE为直角三角形

∵∠A1GE=90°∴∠EGC+∠A1GA=90°，

∴∠EGC=∠AA1G，

∴Rt△A1AG∽Rt△ECG（12分）

∴=⇒EC=

所以当EC=时，A1-BD-E为直二面角．（15分）

（Ⅰ）证明：连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C

的中点，∵D为AC中点∴OD∥A B1

又∵A B1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1

∴A B1∥平面BDC1-----------------------（6分）

（Ⅱ）在直角三角形BDC中过点C作BD的垂线，垂足为E，连接C1E．

∵AA1⊥平面ABC，AA1∥CC1

∴CC1⊥平面ABC   又∵BD⊂平面ABC∴CC1⊥BD

∴BD⊥平面C1CE∴BD⊥C1E

在Rt△CBD中，BD==，CE==

在Rt△C1CE中，C1E===---------（10分）

∵V三棱锥B-A1DC1=V三棱锥A1-BDC1

设点A1到面BDC1的距离为h，则有S△C1BD•h=S△A1DC1•BC

所以h==---------（12分）

证明（1）取PC中点G，连接EG，FG，

∵F为PD的中点，∴GF∥CD且GF=CD

∵ABCD是矩形，又E为AB中点，∴AE∥CD且AE=CD，

∴AE∥GF且AE=GF∴四边形AEGF为平行四边形

∴AF∥GE，且AF⊈平面PEC，GE⊆平面PEC，

∴AF∥平面PEC．

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD，

∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，又∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，

∵AF⊆平面PAD，∴CD⊥AF，

∵∠PDA=45°∴F为Rt△PAD斜边PD的中点，∴AF⊥PD，

又∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，

由（1）知AF∥EG．∴EG⊥平面PCD，

又∵EG⊆平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．

证明：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，

∵F为CD的中点，

∴FP∥DE，且FP=DE．

又AB∥DE，且AB=DE．

∴AB∥FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（4分）

又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE（6分）

（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB

∴DE⊥平面ACD又AF⊂平面ACD

∴DE⊥AF

又AF⊥CD，CD∩DE=D

∴AF⊥平面CDE（10分）

又BP∥AF∴BP⊥平面CDE

又∵BP⊂平面BCE

∴平面BCE⊥平面CDE（12分）

（Ⅰ）以AC的中点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1．

∵∠C1DC=60°，∴CC1=

则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），A1（1，0，），

B1（0，，），C1（-1，0，）

连结B1C交BC1于O，则O是B1C的中点，连结DO，则O(-，，)

∴=(-1，，)，=(-，，)，

∴=2．

∵AB1⊄平面BC1D，DO⊂平面BC1D，

∴AB1∥平面BC1D．…（5分）

（Ⅱ）=(-1，0，)，=(1，，-)．

设平面BC1D的一个法向量为=（x，y，z），则

即，则有y=0

令z=1，则=（，0，1），设平面BCC1B1的一个法向量是为=（x'，y'，z'），=(0，0，)，=(1，，-)，则

即，∴z′=0．

令y'=-1，则=（，-1，0）

∴cos＜，＞==

∴二面角D-BC1-C的大小为arccos．…（12分）

（Ⅰ）由直三棱柱可知CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AC，…（2分）

又因为AC⊥BF，CC1∩BF=F，AC⊥面BCF，

故AC⊥BC，…（4分）

又在直三棱柱中，CC1⊥BC，CC1∩AC=C，

故BC⊥面AC1C，C1D在平面ACC1内，所以BC⊥C1D；  …（6分）

（Ⅱ）连结FM，B1M，FB1在△BEA中，由BE=4ME，AB=4AF，所以MF∥AE，

又在面AA1C1C中，易证C1D∥AE，所以C1D∥平面B1FM．    …（14分）

（1）如图所示，

取A1B1的中点P，连接MP，NP．

又∵点M，N分别为A1B和B1C1的中点，∴NP∥A1C1，MP∥B1B，

∵NP⊂平面MNP，A1C1⊄平面MNP，∴NP∥平面A1ACC1；

同理MP∥平面A1ACC1；

又MP∩NP=P，

∴平面MNP∥平面A1ACC1；

∴MN∥平面A1ACC1；

（2）侧棱与底面垂直可得A1A⊥AB，A1A⊥AC，及AB⊥AC，可建立如图所示的空间直角坐标系．

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（0，2，2），N（1，1，2），M（1，0，1）．

∴=（-1，2，-1），=（1，-1，2），=（0，2，0）．

设平面ACM的法向量为=（x1，y1，z1），则，令x1=1，则z1=-1，y1=0．

∴=（1，0，-1）．

设平面NCM的法向量为=（x2，y2，z2），则，令x2=3，则y2=1，z2=-1．

∴=（3，1，-1）．

∴cos＜，＞===．

设二面角N-MC-A为θ，则sinθ===．

故二面角N-MC-A的正弦值为．

（Ⅰ）连A1B，∵AE=3EB.A1F=FA

∴==3，∴FE∥A1B，又D1C∥A1B

∴EF∥D1C，EF⊄面DD1C1C，D1C⊂面DD1C1C

∴FE∥面DD1C1C

（Ⅱ）过点D作DG⊥EC，连接D1G．

由DD1⊥平面ABCD得D1G⊥CE，又DG⊥EC，DG∩DD1=D，

∴CE⊥平面D1DG．∴CE⊥D1G，

∴∠D1GD就是二面角A-EC-D1的平面角．

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，则AE=3，EB=1．

CE==，△DEC中，由等面积法，DG==．

∴△D1DG中，tanD1GD===．

∴二面角A-EC-D1的正切值为