几何概型_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在平面区域{（x，y）|y≤-x2+2x，且y≥0}内任意取一点P，则所取的点P恰是平面区域{（x，y）|y≤x，x+y≤2，且y≥0}内的点的概率为______．

正确答案

设平面区域{（x，y）|y≤-x2+2x，且y≥0}为区域M，平面区域{（x，y）|y≤x，x+y≤2，且y≥0}为区域A，

对于区域M，函数y=-x2+2x与x轴的交点为（0，0）与（2，0），

则区域M的面积为∫02（-x2+2x）dx=（-x3+x2）|02=，

区域A的面积为×2×1=1；

则点P恰是平面区域A内的点的概率为=；

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N个点（xi，yi）（i=1，2，…，N），再数出其中满足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分f(x)dx的近似值为 ______．

正确答案

由题意可知≈得f(x)dx≈，

故积分f(x)dx的近似值为．

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题型：填空题

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填空题

在区间[-，]内任取一个实数x，则所取实数x落在函数y=2sin(2x+)增区间内的概率为______．

正确答案

由函数y=2sin(2x+)的解析式得，

增区间满足 2kπ-≤2x+≤2kπ+，

∴2kπ-≤2x≤2kπ+，

⇒kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，又x∈[-，]，

∴-≤x≤，其长度为，

记事件A=“实数x落在函数y=2sin(2x+)增区间内”，

∵区间[-，]长度是π，

∴由几何概型公式，得P（A）==．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知集合A={x|x2+2x-3＜0}，B={x|（x+2）（x-3）＜0}，

（1）在区间（-3，3）上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；

（2）设（a，b）为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“a-b∈A∪B”的概率．

正确答案

（1）∵A={x|x2+2x-3＜0}，B={x|（x+2）（x-3）＜0}，

∴解之，得A={x|-3＜x＜1}，B={x|-2＜x＜3}，…（2分）

∴A∩B={x|-2＜x＜1}，

事件“x∈A∩B”对应长度为3的线段，设它的概率为P1，

所有的事件：x∈（-3，3），对应长度为6的线段．

∴事件“x∈A∩B”的概率为：P1==．…（5分）

（2）因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，

所以，a∈{-2，-1，0}，b∈{-1，0，1，2}基本事件可列出如下：-1，-2，-3，-4，0，-1，-2，-3，1，0，-1，-2

因此a-b共有12个结果，即12个基本事件． …（9分）

又因为A∪B=（-3，3），

设事件E为“a-b∈A∪B”，则事件E中包含9个基本事件，…（11分）

事件E的概率P(E)==．…（12分）

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题型：填空题

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填空题

在区间[0，9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为______．

正确答案

本题属于几何概型

解不等式1≤log2x≤2，可得2≤x≤4，

∴在区间[0，9]上随机取一实数x，该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为=

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

桂林市某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：

问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？

正确答案

设空调和冰箱的月供应量分别为x、y台，月总利润为z百元，…（1分）

则…（6分）

作出可行域如图

…（8分）

作直线y=-x的平行线，当直l过可行域上的一个顶A（4，9），…（10分）

即x，y分别为4，9时，z取得最大值，…（11分）

∴空调和冰箱的月供应量分别为4台和9台时，月总利润为最大．…（12分）

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题型：填空题

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填空题

若集合A={x|x2-4x-5＜0，x∈Z}，B={x|y=log0.5x＞-3，x∈Z}，记x0为抛掷一枚骰子出现的点数，则x0∈A∩B的概率等于______．

正确答案

由x2-4x-5＜0，x∈Z，

解得：-1＜x＜5，x∈Z，

∴x=0，1，2，3，4．即A={0，1，2，3，4}，

B={x|y=log0.5x＞-3，x∈Z}={1，2，3，4，5，6，7}，

∴A∩B={1，2，3，4}，

而x0为抛掷一枚骰子出现的点数可能有6种，

∴P==，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

记不等式组0表示的平面区域为M．

（Ⅰ）画出平面区域M，并求平面区域M的面积；

（Ⅱ）若点（a，b）为平面区域M中任意一点，求直线y=ax+b的图象经过一、二、四象限的概率．

正确答案

（Ⅰ）联解，得x=-，y=，得到点A(-，)；

联解，得x=1，y=3，得到点B（1，3）；联解，得x=1，y=-2，得到点C（1，-2）

∴根据一元二次不等式组表示的平面区域的结论，可得平面区域M表示直线AB下方，直线AC上方且在直线BC左侧的部分

因此，可得平面区域M为：△ABC及其内部，其中A(-，)、B（1，3）、C（1，-2），（如右图所示）（3分）

∴平面区域M的面积为S=××5=（5分）

（Ⅱ）要使直线y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则a＜0，b＞0，（6分）

又∵点（a，b）的区域为M，

∴使直线y=ax+b的图象经过一、二、四象限的点（a，b）的区域为第二象限的阴影部分，

其面积为S'=2-××1= （8分）

故所求的概率为P===（10分）

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题型：填空题

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填空题

在圆（x-2）2+（y-2）2=4内任取一点，则该点恰好在区域内的概率为．

正确答案

作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，2），B（3，3），C（3，1）

∵△ABC位于圆（x-2）2+（y-2）2=4内的部分，

∴在圆（x-2）2+（y-2）2=4内任取一点，则该点恰好在区域内的概率为P===．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

二次函数f（x）=-x2+ax+b的一个零点在（-2，0）内，；另一个零点在（0，2）内，当a，b∈Z时，0≤≤的概率是______．

正确答案

由已知得：⇒（4分）（6分）

其表示得区域M如图：（9分），

表示P（-4，1）与M区域中的点（a，b）连线的斜率．

从图中可知，当a，b∈Z时，有五个点：A，B，C，D，E，F，满足题意，其中kPF=＞，

其余四点都满足0≤≤，

故当a，b∈Z时，0≤≤的概率是．

故答案为：．

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