- 函数模型及其应用
- 共3934题
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=
（I）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
正确答案
（I）当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则
S=200x-(
当x∈[200，300]时，S＜0，此时该项目不会获利；
当x=300时，S取得最大值-5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．
（II）由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
则：①当x∈[120，144）时，
②当x∈[144，500]时，
当且仅当
∵200＜240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
函数f（x）=ax-x，（a＞1），求f（x）最小值，并求最小值小于0时，a的取值范围．
正确答案
（1）f'（x）=axlna-1，f'（x）＞0，即axlna＞1，
∴ax＞
同理f'（x）＜0，有∴x＜-logalna，
所以f'（x）在（-∞，-logalna）上是减函数，在（-logalna，+∞）是增函数，故f(x)min=f(-lo
（2）若f（x）min＜0，即
则ln（lna）＜-1，
∴lna＜
∴a∈(1，e1e)．
已知函数f(x)=(
（1）若a=-1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
正确答案
（1）a=-1，得f(x)=(
1
3
)x2-4x+3，
∵
∴f（x）的增区间为（-∞，2），减区间为（2，+∞）
（2）∵f（x）有最大值，
∴函数t=ax2-4x+3在区间（-∞，
由此可得，a＞0且f（
1
3
)-4a+3=3，得-
综上所述，当f（x）有最大值3时，a的值为1
某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15一O.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为l0．假设不计其它成本，即销售每套丛书的利润=售价 一 供货价格．问：
（I）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（Ⅱ）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？
正确答案
（Ⅰ）每套丛书定价为100元时，销售量为15-0.1×100=5万套，
此时每套供货价格为30+
∴书商所获得的总利润为5×（100-32）=340万元． （4分）
（Ⅱ）每套丛书售价定为x元时，由
依题意，单套丛书利润P=x-(30+
∴P=-[(150-x)+
∵0＜x＜150，∴150-x＞0，
由 (150-x)+
当且仅当150-x=
答：（Ⅰ）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；（Ⅱ）每套丛书售价定为140元时，单套利润取得最大值100元． （12分）
我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：C(x)=
（I）求C（x）和f（x）的表达式；
（II）当陋热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．
正确答案
（I）当x=0时，C=8，因为C(x)=
∵f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和
∴f(x)=6x+
（II）f(x)=6x+
当且仅当6x+10=
即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元．…（12分）
市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
正确答案
（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8-p）万件，
年销售收入为
政府对该商品征收的税收y=
故所求函数为y=
由11.8-p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得
化简得p2-12p+20≤0，即（p-2）（p-10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元． …（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）=
∵g(p)=
∴g（p）max=g（2）=800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大． …（14分）
（1）解不等式：22x-7＞24x-1； （2）证明：f(x)=
正确答案
（1）考察函数y=2x，
因为y=2x在R上是增函数，22x-7＞24x-1所以2x-7＞4x-1，
即x＜-3
所以不等式的解集是{x|x＜-3}（5分）
（2）函数：f(x)=
又因为f(-x)=
所以f(x)=
给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭，且给出推理过程f1（x）=2x-1，f2（x）=-
（2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a使函数f（x）=
正确答案
（1）∵f1（
∴f（x）在D1上不封闭；
∵f2（x）=-（x+
∴0＜f2（1）＜f2（x）＜f2（0）=1，
∴f2（x）∈（0，1）⇒f2（x）在D1上封闭；
∵f3（x）=2x-1在（0，1）上是增函数，∴0=f3（0）＜f3（x）＜f3（1）=1，
∴f3（x）∈（0，1）⇒f3（x）在D1上封闭；
∵f4（x）=cosx在（0，1）上是减函数，∴cos1=f4（1）＜f4（x）＜f4（0）=1，
∴f4（x）∈（cos1，1）⊂（0，1）⇒f4（x）在D1上封闭；
（2）f（x）=5-
若a+10＞0，则f（x）在（1，2）上为增函数，故应有
若a+10=0，则f（x）=5，此与f（x）∈（1，2）不合，
若a+10＜0，则f（x）在（1，2）上为减函数，故应有
综上可得，a=2时f（x）在D2上封闭．
已知定义在R上的函数f（x）=2x+
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用单调性定义给予证明；
（3）求函数f（x）的值域．
正确答案
（1）由f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），即 2x+
从而a=1． …4分
f（x）=2x+
（2）函数f（x）在（0，+∞）内单调增．
证明：任取 0＜x1＜x2，…6分
f（x1）-f（x2）=2x1+
由条件-∞＜x1＜x2，可得（2x1-2x2 ）＜0，）（
故函数f（x）在（0，+∞）内单调增．…..10分
（3）∵函数 f（x）=2x+
则 y=t+
由基本不等式可得y=t+
所以函数的值域为[2，+∞）．…..15分．
函数y=2x+log2（x+1）在区间[0，1]上的最大值和最小值之和为______．
正确答案
∵y=2x和y=log2（x+1）都是[0，1]上的增函数，
∴y=2x+log2（x+1）是[0，1]上的增函数，
∴最大值和最小值之和为：
20+log2（0+1）+21+log2（1+1）=4．
故答案为4．
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