热门试卷

（1）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，1+a=0，∴a=-1．

（2）证明：由（1）可知，f（x）=2x-．

任取-1＜x1＜x2＜1，则

所以，f（x）在（-1，1）上单调递增．

（3）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）．

由已知f（x）在（-1，1）上是奇函数，

∴f（1-m）+f（1-2m）＜0可化为f（1-m）＜-f（1-2m）=f（2m-1），

又由（2）知f（x）在（-1，1）上单调递增，

∴-1＜1-m＜2m-1＜1，解得＜m＜1．

方法一：

（1）由定义在R上的函数f(x)=是奇函数得对一切x∈R，f（x）+f（-x）=0恒成立

即+=0 即+=0，

整理得（a+b）（3x）2+（ab+1）3x+a+b=0对任意x∈R恒成立，

故，解得或，

又因为函数的定义域为R，故a=1，b=-1．

方法二：由题意可知f（0）=0，即1+b=0，b=-1，此时f(x)=，

又由f（1）+f（-1）=0得a=1，此时f(x)=，经检验满足f（-x）=-f（x）符合题意．

（2）由f(x)=得f′(x)==＞0恒成立，

故函数y=f（x）在R上为增函数．

（3）函数y=f（x）为奇函数且在R上为增函数

由f（2t2+4t）+f（k-t2）＜0得f（2t2+4t）＜-f（k-t2）2t2+4t＜t2-k（12分）-k＞t2+4t=（t+2）2-4对一切x∈[-3，3]恒成立

所以-k＞{（t+2）2-4}max，x∈[-3，3]，-k＞21，∴实数k的取值范围是k＜-21．

（1）f(x)=2|2x+2|-|x-1|=，

故函数的单增区间是[-1，1]，（1，+∞），

函数的减区间是（-∞，-1）．

（2）由（1）知，f（x）的最小值是，

要f(x)≥22a-2a-恒成立，

则须≥22a-2a-成立，

即22a-2a-2≤0，

∴-1≤2a≤2，且2a＞0

解得，a≤1．

（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，

则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，

由①②解得g(x)=，h(x)=．

∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．

∵g(-x)==g(x)，h(-x)==-h(x)．

∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，∵f（x）=2x+1，

∴g(x)===2x+，h(x)===2x-．

由2x-=t，则t∈R，

平方得t2=(2x-)2=22x+-2，∴g(2x)=22x+=t2+2，

∴p（t）=t2+2mt+m2-m+1．

（2）∵t=h（x）关于x∈[1，2]单调递增，∴≤t≤．

∴p（t）=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于t∈[，]恒成立，

∴m≥-对于t∈[，]恒成立，

令φ(t)=-，则φ′(t)=(-1)，

∵t∈[，]，∴φ′(t)=(-1)＜0，故φ(t)=-在t∈[，]上单调递减，

∴φ(t)max=φ()=-，∴m≥-为m的取值范围．

（3）由（1）得p（p（t））=[p（t）]2+2mp（t）+m2-m+1，

若p（p（t））=0无实根，即[p（t）]2+2mp（t）+m2-m+1①无实根，

方程①的判别式△=4m2-4（m2-m+1）=4（m-1）．

1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根．

2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1时，

方程①有两个实根p(t)=t2+2mt+m2-m+1=-m±，

即t2+2mt+m2+1±=0②，

只要方程②无实根，故其判别式△2=4m2-4(m2+1±)＜0，

即得-1-＜0③，且-1+＜0④，

∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．

综上，m的取值范围为m＜2．

（1）f(x)=，

f(1)==-，f(-1)==，

所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数；（4分）

（2）f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），

即=-对任意实数x成立，

化简整理得（2a-b）•22x+（2ab-4）•2x+（2a-b）=0，这是关于x的恒等式，

所以所以或；（8分）

（3）f(x)==-+，因为2x＞0，所以2x+1＞1，0＜＜1，

从而-＜f(x)＜；所以函数f（x）的值域为(-，)．（13分）

（Ⅰ）函数f(x)=(a∈R)，有1+2x＞1恒成立，

则f（x）的定义域为R，

又由函数f（x）为奇函数，可得f（0）=0，

则f（0）==0，解可得a=1，

此时f（x）=；

（Ⅱ）当a=5时，f（x）==5-，

假设f（x）的图象存在对称中心，且其对称中心的坐标为（h，k），

则对于任意的x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，

10-6（+）=2k恒成立，

整理可得（4-2k）×2h+x+（4-2k）×2h-x+[（10-2k）×22h-2-2k]=0恒成立，

于是有，解可得h=0，k=2，

故当a=5时，函数f（x）的图象存在对称中心，且其对称中心为（0，2）．