函数模型及其应用_章节学习

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•天水校级期末）已知函数f（x）=5-2|x|，g（x）=x2-2x，F（x）=，则F（x）的最值为（　　）

A最大值为5-2，最小值为-1

B最大值为5-2，无最小值

C最大值为3，无最小值

D既无最大值，又无最小值

正确答案

C

解析

解：由f（x）=g（x）得5-2|x|=x2-2x，

若x≥0时，5-2|x|=x2-2x等价为5-2x=x2-2x，

即x2=5，解得x=．

若x＜0时，5-2|x|=x2-2x等价为5+2x=x2-2x，

即x2-4x-5=0，

解得x=-1或x=5（舍去）．

即当x≤-1时，F（x）=f（x）=5+2x，

当-1＜x＜时，F（x）=g（x）=x2-2x，

当x时，F（x）=f（x）=5-2x，

则由图象可知当x=-1时，F（x）取得最大值F（-1）=f（-1）=5-2=3，无最小值．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•慈溪市校级期中）计算：（1）=______；

（2）设f（x）=，则=______．

正确答案

2

解析

解：（1）原式=+=3-1=2；

（2）当x＜0时，f（x）=f（x+1）+2，

∴原式===f（-1006-）+2=f（-1005-）+2×2=…=f（）+2×1008=

故答案为：2；．

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题型：简答题

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简答题

已知f（x）=

（1）求f[f（0）]；

（2）若f（a）=3，求a．

正确答案

解：（1）由分段函数可得f（0）=0+2=2，

则f[f（0）]=f（2）==2．

（2）①若a＜2，则a+2=3，解得a=1；

②若a≥2，则=3，

解得a=±（舍去负值）．

综上，a=1或．

解析

解：（1）由分段函数可得f（0）=0+2=2，

则f[f（0）]=f（2）==2．

（2）①若a＜2，则a+2=3，解得a=1；

②若a≥2，则=3，

解得a=±（舍去负值）．

综上，a=1或．

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题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）=，若f（3-a2）＜f（a2+1）成立，则a的取值范围是（　　）

A-2＜a＜2

Ba＜-2或a＞2

C-1＜a＜1

Da＜-1或a＞1

正确答案

C

解析

解：当x＜1时，y=2x2-4x+3，对称轴为x=1，（-∞，1）为减区间，

当x≥1时，y=+1为减函数，

且x→1，y→1，又x=1，y=1，

∴y=f（x）在R上递减，

∵f（3-a2）＜f（a2+1），

∴3-a2＞a2+1，

∴-1＜a＜1．

故选C．

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题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）=，若f（-x）＞f（x），则x的取值范围是（　　）

A（-∞，-1）∪（1，+∞）

B（-1，0）∪（0，1）

C（-∞，-1）∪（0，1）

D（-1，0）∪（1，+∞）

正确答案

C

解析

解：①当x＞0时，

f（-x）＞f（x）可化为

x＞log2x；

解得，x∈（0，1）；

②当x＜0时，

f（-x）＞f（x）可化为

log2（-x）＞（-x）；

解得，-x∈（1，+∞）；

故x∈（-∞，-1）；

综上所述，x的取值范围是（-∞，-1）∪（0，1）；

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|．

（1）判断函数f（x）的奇偶性，请说明理由

（2）若函数在区间[3，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；

（3）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）的表达式．

正确答案

解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．

当a=0时f（x）=x|x-a|=x|x|，为奇函数．

当a≠0时，f（x）=x|x-a|，

f（1）=|1-a|，f（-1）=-|1+a|，

f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），

∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．

（2）由题意可得f（x）=，

即若a=0，则函数f（x）=x|x|为增函数，满足条件．

若a＞0，则函数在（-∞，]和[a，+∞）为增函数，

若函数在区间[3，+∞）上单调递增，则0＜a≤3，

若a＜0，则函数在（-∞，a]和[，+∞）为增函数，

此时函数在区间[3，+∞）上单调递增，恒成立，

综上a≤3．

（3）若a=0，则函数f（x）=x|x|为增函数，则函数f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）=g（1）=1．

若a＞0，则函数在（-∞，]和[a，+∞）为增函数，

若a≤1，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，则最小值g（a）=f（1）=|1-a|=1-a，

若1＜a＜2，函数f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）=f（a）=0．

若1≤≤2，即2≤a≤4，则函数的最小值为g（a）=min{f（1），f（2）}，

若＞2，得a＞4，此时函数f（x）在[1，2]上为增函数，则最小值g（a）=f（1）=|1-a|=a-1，

若a＜0，则函数在[1，2]上为增函数，则最小值g（a）=f（1）=|1-a|=1-a．

解析

解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．

当a=0时f（x）=x|x-a|=x|x|，为奇函数．

当a≠0时，f（x）=x|x-a|，

f（1）=|1-a|，f（-1）=-|1+a|，

f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），

∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．

（2）由题意可得f（x）=，

即若a=0，则函数f（x）=x|x|为增函数，满足条件．

若a＞0，则函数在（-∞，]和[a，+∞）为增函数，

若函数在区间[3，+∞）上单调递增，则0＜a≤3，

若a＜0，则函数在（-∞，a]和[，+∞）为增函数，

此时函数在区间[3，+∞）上单调递增，恒成立，

综上a≤3．

（3）若a=0，则函数f（x）=x|x|为增函数，则函数f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）=g（1）=1．

若a＞0，则函数在（-∞，]和[a，+∞）为增函数，

若a≤1，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，则最小值g（a）=f（1）=|1-a|=1-a，

若1＜a＜2，函数f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）=f（a）=0．

若1≤≤2，即2≤a≤4，则函数的最小值为g（a）=min{f（1），f（2）}，

若＞2，得a＞4，此时函数f（x）在[1，2]上为增函数，则最小值g（a）=f（1）=|1-a|=a-1，

若a＜0，则函数在[1，2]上为增函数，则最小值g（a）=f（1）=|1-a|=1-a．

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题型：填空题

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填空题

设函数g（x）=x+，f（x）=，则f（x）的值域是______．

正确答案

（-∞，0）∪[2-2，+∞）

解析

解：当x＜g（x）即x＜x+，即有x＞-1，f（x）=g（x）+x=2x+

=2（x+1）+-2-2=2-2；

当x≥g（x）即x≥x+，即有x＜-1，f（x）=g（x）-x=＜0，

则f（x）的值域为（-∞，0）∪[2-2，+∞）．

故答案为：（-∞，0）∪[2-2，+∞）．

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题型：单选题

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单选题

设f（x）=，其中a∈R．若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则k的取值范围为（　　）

AR

B[-4，0]

C[9，33]

D[-33，-9]

正确答案

D

解析

解：设g（x）=k2x+a2-k，h（x）=x2+（a2+4a）x+（3-a）2，

由条件知二次函数的对称轴不能在y轴的左侧即a2+4a≤0，

两个函数的图象在y轴上交于同一点，即g（0）=h（0），

所以，k=6a-9在[-4，0]上有解，

从而k∈[-33，-9]．

故选：D

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为______．

正确答案

（2π，2016π）

解析

解：如图所示，

当x∈[0，π]时，f（x）=sinx．

不妨设a＜b＜c，

若满足f（a）=f（b）=f（c），

则0＜a＜b＜π＜c＜2015π，a+b=π，

∴2π＜a+b+c＜2016π．

∴a+b+c的取值范围为（2π，2016π）．

故答案为：（2π，2016π）．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•成都月考）已知函数f（x）=，若直线y=m（m∈R）与函数f（x）的图象有四个交点，且交点的横坐标从小到大依次为a，b，c，d，则的取值范围是______．

正确答案

（28，55）

解析

解：根据图象可得：

①ab=1；

②c+d=18；

③c∈（3，6），d∈（12，15），

因此则=（c-1）•（d-1）=cd-（c+d）+1=-（c-9）2+64∈（28，55）．

故答案为：（28，55）．

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