- 平行射影
- 共748题
（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．
（I）求AC的长；
（II）求证：BE＝EF．
正确答案
（I）
（1）由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，从而求得AC的长；
（2）欲求证：“BE=EF”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系．
解：（I）
又
（II）
如图所示,AB为☉O直径,直线CD与☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.证明:
(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF2=AD·BC.
正确答案
见解析
证明:(1)由直线CD与☉O相切,
得∠CEB=∠EAB.
由AB为☉O的直径,
得AE⊥EB,
从而∠EAB+∠EBF=
又EF⊥AB,得
∠FEB+∠EBF=
从而∠FEB=∠EAB.
故∠FEB=∠CEB.
(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,
∠FEB=∠CEB,BE是公共边,
得Rt△BCE≌Rt△BFE,
所以BC=BF.
类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,
得AD=AF.
又在Rt△AEB中,EF⊥AB,
故EF2=AF·BF,
所以EF2=AD·BC.
（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的圆O交
AC于点D，设E为AB的中点．
（1）求证：直线DE为圆O的切线；
（2）设CE交圆O于点F，求证：CD·CA＝CF·CE．
正确答案
略
如图，圆O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连结AD交圆O于点E，连结BE与AC交于点F.
(1)判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
(2)若AE＝6，BE＝8，求EF的长．
正确答案
（1）平分（2）
(1)BE平分∠ABC.
∵CD＝AC，∴∠D＝∠CAD.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠EBC＝∠CAD，∴∠EBC＝∠D＝∠CAD.
∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ACB＝∠D＋∠CAD，
∴∠ABE＝∠EBC，即BE平分∠ABC.
(2)由(1)知∠CAD＝∠EBC＝∠ABE.∵∠AFE＝∠ABE，
∴△AEF∽△BEA.∴
如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G.
(1)求证：△DEF∽△EFA；
(2)如果FG＝1，求EF的长．
正确答案
（1）见解析（2）1.
(1)证明：因为EF∥CB，所以∠BCE＝∠FED.
又∠BAD＝∠BCD，所以∠BAD＝∠FED.
又∠EFD＝∠EFD，所以△DEF∽△EFA.
(2)解：由(1)得
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