热门试卷

（Ⅰ）证明见解析

（Ⅱ）90°

本题主要考查平面几何中与圆有关的定理及性质的应用、三角形相似及性质的应用.

证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD．

因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD．

故△ABE∽△ADC．

（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE．

又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE．

则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°．

【点评】在圆的有关问题中经常要用到弦切角定理、圆周角定理、相交弦定理等结论，解题时要注意根据已知条件进行灵活的选择，同时三角形相似是证明一些与比例有关问题的的最好的方法.

解：在△ABC中，由余弦定理得：

解得BD=16或BD=-6（舍） ————————5分

在△BCD中，由正弦定理得：

解得 BC= ——————————————10分

略

（1）见解析    （2）见解析

证明：设AB＝AC＝3a，

则AE＝BD＝a，CF＝a．

(1)＝＝，＝＝．

又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，

由∠BAC＝90°．∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC．

(2)由(1)得EF＝a，

故＝＝，＝＝，

∴＝．∵∠DAE＝∠BFE＝90°，

∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC．

（1）见解析（2）见解析

(1)由弦切角定理知∠DBE＝∠DAB.

又∠DBC＝∠DAC，∠DAB＝∠DAC，

所以∠DBE＝∠DBC，即BD平分∠CBE.

(2)由(1)可知BE＝BH，

所以AH·BH＝AH·BE，

因为∠DAB＝∠DAC，∠ACB＝∠ABE，

所以△AHC∽△AEB，

所以，即AH·BE＝AE·HC，

即AH·BH＝AE·HC.