椭圆及其性质_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知圆面C：（x﹣a）2+y2≤a2﹣1的面积为S，平面区域D：2x+y≤4与圆面C的公共区域的面积大于，则实数a的取值范围是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意得：

圆面C：（x﹣a）2+y2≤a2﹣1的圆心（a，0）在平面区域：2x+y＜4内，

则。

故选C。

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,证明:为定值,并求出该定值；

（3）在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意：，解得：

所以椭圆

（2）由（1）可知,设,

直线:,令,得;

则,

而,所以,

所以

（3）假设存在点满足题意，则，即

设圆心到直线的距离为，则，且

所以

因为，所以，所以

所以

当且仅当，即时，取得最大值

由，解得

所以存在点满足题意，点的坐标为

此时的面积为

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设､分别为椭圆的左､右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且是它的右准线。

（1）求椭圆的方程；

（2）设为右准线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的､，证明点在以为直径的圆内，（此题不要求在答题卡上画图）

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意得解得

从而b=，

故椭圆方程为。

（2）解法1：由（1）得A（-2，0），B（2，0），设。

点在椭圆上，

。

又点异于顶点AB,

曲三点共线可得。

从面

。

将①式代入②式化简得

>0，>0.于是为锐角，从而为钝角，故点在以为直径的圆内。

解法2：由（1）得A（-2，0），B（2，0），设P（4，）（0），M（，），N（，），则直线AP的方程为，直线BP的方程为。

点M､N分别在直线AP､BP上，

=（+2），=（-2）。

从而=（+2）（-2），③

联立消去y得（27+）+4x+4（-27）=0。

，-2是方程得两根，

-2，即=， ④

又。=（-2，），（-2，）=（-2）（-2）+， ⑤

于是由③､④式代入⑤式化简可得

。=（-2）。

N点在椭圆上，且异于顶点A､B，

<0。

又，

> 0，

从而。<0。

故为钝角，即点B在以MN为直径的圆内。

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心，

椭圆的短半轴为半径的圆相切。

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与曲线的交点为、，求面积的最大值。

正确答案

见解析

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且。

（1）求椭圆C1的方程；

（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y＝kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值。

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且。

（1）求椭圆C1的方程；

（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由抛物线C1：x2=4y的焦点，得焦点F1（1，0）。

设M（x0，y0）（x0＜0），由点M在抛物线上，

∴，，解得，。

而点M在椭圆C1上，∴，化为，

联立，解得，

故椭圆的方程为。

（2）由（1）可知：|AO|=，|BO|=2.设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，

把y=kx代人，可得，x2＞0，y2=﹣y1＞0，且。

，，

故四边形AEBF的面积S=S△BEF+S△AEF==

=≤=。

当且仅当时上式取等号。

∴四边形AEBF面积的最大值为。

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆C：的离心率，短轴长为2。

（1）求椭圆C的方程o

（2）设为椭圆C上的不同两点，已知向量，且已知O为坐标原点，试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由，

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

略

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

直线与椭圆的交点在轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆的离心率为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

略

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，已知椭圆C：的左.右顶点为A.B，离心率为，直线x-y+l=0经过椭圆C的上顶点，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）求线段MN长度的最小值；

（3）当线段MN长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点P，使得△PAS的面积为l?若存在，确定点P的个数；若不存在，请说明理由。

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