热门试卷

(1)见解析(2)见解析（3）-

(1)证明　∵AD＝BC，N是BC的中点，∴AD＝NC，又AD∥BC，∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，∴AB＝BN＝AD，

∴四边形ANCD是菱形，∴∠ACB＝∠DCB＝30°，

∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又平面C′BA⊥平面ABC，平面C′BA∩平面ABC＝AB，∴AC⊥平面ABC′.

(2)证明:∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N⊂平面BCC′，∴C′N∥平面ADD′.

(3)解:∵AC⊥平面ABC′，AC′⊥平面ABC.

如图建立空间直角坐标系，

设AB＝1，则B(1,0,0)，C(0，，0)，C′(0,0，)，

N，∴′＝(－1,0，)，′＝(0，－，)，设平面C′NC的法向量为n＝(x，y，z)，则即

取z＝1，则x＝，y＝1，∴n＝(，1,1)．

∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC＝AN，∴BD⊥平面C′AN，BD与AN交于点O，O则为AN的中点，O，∴平面C′AN的法向量＝.

∴cos〈n，〉＝＝，

由图形可知二面角A­C′N­C为钝角，

所以二面角A­C′N­C的余弦值为－

（1）见解析（2）∶2

(1)证明　因为PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又BD∩PD＝D，故AC⊥平面PBD，又AC⊂平面EAC.

所以平面EAC⊥平面PBD.

(2)解　连接OE，

因为PD∥平面EAC，所以PD∥OE，所以OE⊥平面ABCD，又O是BD的中点，故此时E为PB的中点，以点O为坐标原点，射线OA，OB，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz.

设OB＝m，OE＝h，则OA＝m，A，B(0，m,0)，E(0,0，h)，＝(－m，m,0)，＝(0，－m，h)，向量n1＝(0,1,0)为平面AEC的一个法向量，设平面ABE的一个法向量n2＝(x，y，z)

则n2·＝0，且n2·＝0，

即－mx＋my＝0且－my＋hz＝0.

取x＝1，则y＝，z＝，则n2＝，

∴cos 45°＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，解得＝，故PD∶AD＝2h∶2m＝h∶m＝∶2.

（1）；（2）三等分点

试题分析：（1）根据平面，确定就是与平面所成的角，从而得到，且，可以建立空间直角坐标系，写出，设出的一个法向量为，根据，解出，而平面的法向量设为，所以利用向量数量积公式得出二面角的余弦值为；（2）由题意设，则，而平面，∴，代入坐标，求出，所以点M的坐标为，此时，∴点M是线段BD靠近B点的三等分点.

试题解析：

平面，就是与平面所成的角，即，∴.

如图，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则各点的坐标如下，∴，设平面的一个法向量为，则，即，令，则.

∵平面，∴平面的法向量设为，∴，故二面角的余弦值为.

（2）由题意，设，则，∵平面，∴，即解得，∴点M的坐标为，此时，∴点M是线段BD靠近B点的三等分点.

==(1，1，0)，==(-1，0，2)．      

（Ⅰ）cosθ===-，

∴和的夹角θ的余弦值为-．

（Ⅱ） k+=(k-1，k，2)，k-2=(k+2，k，-4)

∵向量k+与k-2互相垂直，

∴(k+)•(k-2)=(k-1，k，2)•(k+2，k，-4)=（k-1）（k+2）+k2-8=2k2+k-10=0

∴k=-，或k=2．

（Ⅲ） λ-=(λ+1，λ，-2)，-λ=(1+λ，1，-2λ)

∵向量λ-与-λ共线，∴存在实数μ，使得λ-=μ(-λ)

即（λ+1，λ，-2）=μ（1+λ，1，-2λ）∴

∴λ=1，或λ=-1．

（1）参考解析；（2）

试题分析：（1）直线与直线垂直的证明通过转化为证明直线与平面垂直，由于通过翻折为两个垂直的平面所以只需证明直线AB垂直与两个平面的交线BD即可，通过已知条件利用余弦定理即可得到直角.

（2）求二面角的问题通常就是建立空间直角坐标系，根据BD与DC垂直来建立.通过写出相应点的坐标，以及相应的平面内的向量，确定两平面的法向量，并求出法向量的夹角，再判断法向量的夹角与二面角的大小是相等还是互补，即可得到结论.

试题解析：（1）在中，

所以 所以，

因为平面平面，所以平面，所以；…3分

（2）在四面体ABCD中，以D为原点，DB为轴，DC为轴，过D垂直于平面BDC的射线为轴，建立如图的空间直角坐标系. 

则D（0，0，0），B（，0，0），C（0，1，0），A（，0，1）

设平面ABC的法向量为，

而

由得：取再设平面DAC的法向量为而

由得：取               

所以即二面角B-AC-D的余弦值是         

（1）见解析（2）

(1)证明:∵在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O为CD中点，

∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，∴∠AOB＝90°，即OB⊥OA.

取AO中点H，连接DH，BH，则OH＝DH＝，

在Rt△BOH中，BH2＝BO2＋OH2＝，

在△BHD中，DH2＋BH2＝2＋＝3，又DB2＝3，

∴DH2＋BH2＝DB2，∴DH⊥BH.

又DH⊥OA，OA∩BH＝H，∴DH⊥面ABCO，而DH⊂平面AOD，∴平面AOD⊥平面ABCO.

(2)解　分别以OA，OB所在直线为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，，0)，A(，0,0)，D，C.

∴＝(－，，0)，＝，＝.

设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

由得

即x＝y，x＝z，令x＝1，则y＝z＝1，取n＝(1,1,1)．

设α为直线BC与平面ABD所成的角，则sin α＝＝.

即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为.

（1）详见解析；（2）；（3）.

试题分析：（1）以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o-xyz，求出向量，的坐标，代入数量积公式，验证其数量积与0的关系，即可得到结论．

（2）由PO=BC，得h=a，求出向量，的坐标，代入向量夹角公式，即可求出直线PD与AB所成的角；

（3）求出平面APB与平面PCD的法向量，根据平面APB与平面PCD所成的角为60°，构造关于h的方程，解方程即可得到的值．

试题解析：因为中点为点在平面内的射影，所以平面．过作的平行线交与点，则.

建立如图所示的空间直角坐标系    2分

（1）设，，则

,．

∴．

∵， ∴ .                         6分

（2）由，得，于是

∵，                                8分

∴，

∴直线PD与AB所成的角的余弦值为.                            10分

（3）设平面PAB的法向量为，可得，

设平面PCD的法向量为，

由题意得，

∵∴令，得到，       12分

∴，                                   14分

∵平面与平面所成的二面角为，∴，解得，

即．                                                    16分

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、面面垂直的判定以及二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，法一，先利用面面垂直的性质判断出，从而平面，所以垂直于面内的任意的线，由，判断是等腰直角三角形，所以且，所以面，利用面面垂直的判定定理得面面垂直，法二，利用空间向量法，通过证明，其它过程与法一相同；第二问，由第一问得到平面的法向量为，而平面的法向量需要计算求出，

，所以，最后用夹角公式求夹角余弦值.

试题解析：(1)解法一：因为面面平面面

为正方形，，平面

所以平面∴                2分

又，所以是等腰直角三角形，

且，即 ，

，且、面，

面            

又面，∴面面.          6分

解法二：

如图,

取的中点, 连结,.

∵,  ∴.

∵侧面底面,

平面平面, 

∴平面,

而分别为的中点,∴,

又是正方形,故.

∵,∴,.

以为原点,向量为轴建立空间直线坐标系,

则有,,,,,.

∵为的中点, ∴                     2分

(1)∵，，  ∴，

∴,从而,又,,

∴平面，而平面，

∴平面平面．                     6分

（2）由（1）知平面的法向量为，

设平面的法向量为，∵，

∴由，，可得

取，则故.

∴,

即二面角的余弦值为,        12分

(1) 见解析；（2）.

试题分析：(1)经过建立空间直角坐标系，求出面和各自的法向量，通过证明，说明面；（2）将直线与面所成角的正弦转化为直线所在向量和平面的法向量的夹角的余弦的绝对值求解.

试题解析：(1)证明：取的中点,,因为,所以,

所以以为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，则,因为,所以,设面法向量为，则，令得，.所以，取面法向量为，因为，所以面.

(2) 解 ，设直线与平面所成角大小为，

则.

（1）详见解析；（2）．

试题分析：（1）证明直线平面，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，还可以利用面面平行的性质，本题由于分别为的中点，可得，，容易证明平面平面，可得直线平面；本题还可用向量法，由于底面,且底面为正方形,可以为原点,以分别为轴，建立空间坐标系，由题意写出各点的坐标，从而得，设平面的法向量为，求出一个法向量，计算出，即可；（2）求平面和平面的夹角，可用向量法，由（1）解法二可知平面的法向量，由题意可知：平面，故向量是平面的一个法向量,利用夹角公式即可求出平面和平面的夹角.

试题解析：（1）如图，以为原点,以为方向向量

建立空间直角坐标系

则.

.           4分

设平面的法向量为

即 令, 首发

则.                                    4分

又平面平面              6分

（2）底面是正方形,又平面 

又,平面。        8分

向量是平面的一个法向量,又由（1）知平面的法向量.                               10分

二面角的平面角为.                12分

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的平面角的余弦值为．

试题分析：（Ⅰ）此题关键是建立空间坐标系，需要找三条两两垂直的直线，注意到△ABC是边长为2的等边三角形，可考虑取AB的中点O，则，取BD的中点为G，则，从而得到三条两两垂直的直线，这样就可以建立空间坐标系，根据题中条件，求出个点坐标，要证明面，只需证平行平面的一个法向量即可，此题也可以用传统方法来解；（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值，只需找出平面的一个法向量，利用法向量来求即可，值得注意的是，需要判断二面角是钝角还是锐角，否则求出的值不对.

试题解析：（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连结OC,OD，则，即是与平面所成角，，取BD的中点为G，以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系，则，取BC的中点为M，则面

，所以，所以面；

（Ⅱ）解：由上面知： ，又取平面DEC的一个法向量，又，设平面BCE的一个法向量,由,由此得平面BCE的一个法向量  则，所以二面角的平面角的余弦值为．