- 空间向量与立体几何
- 共9778题
如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E、F分别为边AB、AD的中点，现将△ADE沿DE
折起，得四棱锥A—BCDE.
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积。
正确答案
略
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．
正确答案
如图建立空间直角坐标系，
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
由n·
设直线AE与平面ABC1D所成的角为θ，则sinθ＝
已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝
(1)求a和b的夹角θ；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
正确答案
（1）arccos
∵A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a＝
∴a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．
(1)∵cosθ＝
(2)∵ka＋b＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且(ka＋b)⊥(ka－2b)，
∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8
＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－
如图，已知四棱锥
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若
正确答案
解：（Ⅰ）
又
而
又
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系
又
则有
设
同理可得
由
∴平面
而平面
故所求平面
略
（本小题满分12分）已知向量
（Ⅰ）若
（Ⅱ）设
正确答案
（Ⅰ）
则
（Ⅱ）
或
∵函数
∴
∴
因为
故当
设A1、A2、A3、A4、A5是空间中给定的5个不同的点，则使
正确答案
1个
设A1、A2、A3、A4、A5坐标分别为(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，(x3，y3，z3)，(x4，y4，z4)(x5，y5，z5)，设M坐标为(x，y，z)．
由
(x1－x)＋(x2－x)＋(x3－x)＋(x4－x)＋(x5－x)＝0，
(y1－y)＋(y2－y)＋(y3－y)＋(y4－y)＋(y5－y)＝0，
(z1－z)＋(z2－z)＋(z3－z)＋(z4－z)＋(z5－z)＝0，
解得x＝
故有唯一的M满足等式．
已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________．
正确答案
如图建立空间直角坐标系D－xyz，
则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，
B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
解得x＝2z且y＝－2z，不妨设n＝(2，－2,1)，
设点A1到平面AB1D1的距离为d，
则d＝
如图所示，等腰△ABC的底边AB=6
（1）求
（2）当x为何值时,
（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值
正确答案
（1）
（2）
（3）
（1）
即
（2）
（3）以E为空间坐标原点,直线EF为
如图（1），等腰直角三角形
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若
正确答案
（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
试题分析：（Ⅰ）要证线线垂直，可先考虑纯线面垂直，要证线面垂直，先找出图中的线线垂直，使结论得证；（Ⅱ）为方便利用直线
试题解析：（Ⅰ）
又
（Ⅱ）
设
可得
设平面
解之得：
在
正确答案
±2
略
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1（包括边界）内的任一点，若
正确答案
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，因为点E是上底面A1B1C1D1（包括边界）内的任一点，
所以根据向量的加法得
在底面A1B1C1D1内，根据平面向量的基本定理可得
所以
所以x=1，0≤y≤1，0≤z≤1．
故答案为：x=1，0≤y≤1，0≤z≤1．．
在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．
正确答案
根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．
∵PA＝PB＝PC，∴H为△ABC的外心．
又∵△ABC为正三角形，∴H为△ABC的重心，可得H点的坐标为
∴PH＝
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为________．
正确答案
以A为原点建立空间直角坐标系，如图A1(0,0,2)，C(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,1,2)，
则
cos〈
故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为
正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角等于 .
正确答案
30°
如图,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),
P(0,-
则
设平面PAC的法向量为n,可取n=(0,1,1),
则cos<
∴<
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.
如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.
求证:(1)BC1⊥AB1.
(2)BC1∥平面CA1D.
正确答案
见解析
【证明】如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设AC=BC=BB1=2,
则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),
C1(0,0,0),D(1,1,2).
(1)由于
所以
因此
故BC1⊥AB1.
(2)取A1C的中点E,连接DE,由于E(1,0,1),
所以
又
所以
又ED和BC1不共线,所以ED∥BC1.
又DE⊂平面CA1D,BC1⊄平面CA1D,
故BC1∥平面CA1D.
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