空间向量与立体几何_章节学习

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题型：填空题

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填空题

直线l过点（-3，1），且它的一个方向向量，则直线l的方程为______．

正确答案

3x+2y+7=0

解析

解：设直线l的另一个方向向量为，其中k是直线的斜率

可得与互相平行

∴⇒k=-

所以直线l的点斜式方程为：y-1=-（x+3）

化成一般式：3x+2y+7=0

故答案为：3x+2y+7=0

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题型：单选题

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单选题

如果点P在直线m上，m在平面α内，若用符号表示P、m、α之间关系，表示正确的是（　　）

AP∈m∈α

BP∈m⊂α

CP⊂m∈α

DP⊂m⊂α

正确答案

B

解析

解：点P在直线m上，记 P∈m，m

在平面α内，记 m⊂α，

用符号表示P、m、α之间关系为 P∈m⊂α，

故选 B．

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题型：简答题

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简答题

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD，且PD=AD，求：平面PAB的一个法向量．

正确答案

解：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，

从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，坐标原点，射线DA，DB，DP为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）．

设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，即，

即，因此可取．

解析

解：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，

从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，坐标原点，射线DA，DB，DP为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）．

设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，即，

即，因此可取．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•阜阳校级期末）若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（-2，0，-4），则（　　）

Al∥α

Bl⊥α

Cl⊂α

Dl与α相交但不垂直

正确答案

B

解析

解：∵=（1，0，2），=（-2，0，4），

∴=-2，

∴∥，

因此l⊥α．

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

对于四面体ABCD，给出下列四个命题

①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；

②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；

④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．

其中真命题的序号是______．（写出所有真命题的序号）

正确答案

①④

解析

证明：如图

对于①取BC的中点H，连接AH与DH，可证得BC⊥面AHD，进而可得BC⊥AD，故①对；

对于②条件不足备，证明不出结论；

对于③条件不足备，证明不出结论；

对于④作AE⊥面BCD于E，连接BE可得BE⊥CD，同理可得CE⊥BD，证得E 是垂心，则可得出DE⊥BC，进而可证得BC⊥面AED，即可证出BC⊥AD．

综上知①④正确，故应填①④．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•余干县校级期末）已知平面α的法向量为=（2，-2，4），=（-3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（　　）

AAB⊥α

BAB⊂α

CAB与α相交不垂直

DAB∥α

正确答案

D

解析

解：∵=-6-2+8=0，点A不在α内，，

∴AB∥α．

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

己知，则平面ABC的一个单位法向量可表示为（　　）

A（-1，2，-2）

B

C

D

正确答案

C

解析

解：设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z）．

则，令，解得，y=-，

∴．

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

若直线l的方向向量为=（1，-1，2），平面α的法向量为=（-2，2，-4），则（　　）

Al∥α

Bl⊥α

Cl⊂α

Dl与α斜交

正确答案

B

解析

解：∵=（1，-1，2），=（-2，2，-4），

∴，

∴l⊥α．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，分别求出平面ABC1D1和平面A1B1CD的一个法向量，并证明这两个平面互相垂直．

正确答案

解：设D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），

A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．

则=（0，1，0），=（-1，0，1）．

设平面ABC1D1的一个法向量为=（x，y，z），则

•=y=0，•=-x+z=0，不妨令x=1，则z=1．

故=（1，0，1）．

设平面A1B1CD的一个法向量为，同理，可求=（-1，0，1），

∵=（1，0，1）•（-1，0，1）=-1+0+1=0，

∴．

∴平面ABC1D1⊥平面A1B1CD．

解析

解：设D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），

A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．

则=（0，1，0），=（-1，0，1）．

设平面ABC1D1的一个法向量为=（x，y，z），则

•=y=0，•=-x+z=0，不妨令x=1，则z=1．

故=（1，0，1）．

设平面A1B1CD的一个法向量为，同理，可求=（-1，0，1），

∵=（1，0，1）•（-1，0，1）=-1+0+1=0，

∴．

∴平面ABC1D1⊥平面A1B1CD．

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题型：简答题

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简答题

求直线的对称比例式：

（1）L过点（4，5，6），且方向向量为（3，-2，7）．

（2）L过点（2，0，-4））且与平面E：4x+3y-5z=6垂直．

正确答案

解：（1）∵直线L过点（4，5，6），且方向向量为（3，-2，7）；

∴直线L的方程为==；

（2）∵平面E：4x+3y-5z=6的法向量是=（4，3，-5），

∴直线L的方向向量为=（4，3，-5），且过点（2，0，-4），

∴直线L的方程为==．

解析

解：（1）∵直线L过点（4，5，6），且方向向量为（3，-2，7）；

∴直线L的方程为==；

（2）∵平面E：4x+3y-5z=6的法向量是=（4，3，-5），

∴直线L的方向向量为=（4，3，-5），且过点（2，0，-4），

∴直线L的方程为==．

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题型：填空题

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填空题

设平面α的一个法向量为=（1，2，-2），平面β的一个法向量为=（-2，-4，k），若α∥β，则k=______．

正确答案

4

解析

解：∵α∥β，∴∥，

∴存在实数λ使得．

∴，解得k=4．

故答案为：4．

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题型：填空题

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填空题

已知等差数列{an}的前n次和为sn，且S2=10，S5=55，则过点P（n，an）和Q（n+2，an+2）（n∈-N*）的直线方向向量的坐标可以是______．

正确答案

（1，4）

解析

解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2=10，S5=55，

∴a1+a2=10，a3=11，

∴a1=3，d=4，

∴an=4n-1

an+2=4n+7，

∴P（n，4n-1），Q（n+2，4n+7）

∴直线PQ的斜率是 =4，

∴过点P（n，an）和Q（n+2，an+2）（n∈-N*）的直线方向向量的坐标可以是（1，4）

故答案为：（1，4）

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题型：单选题

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单选题

已知点O为坐标原点，点A（1，0，0）、点B（1，1，0），则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是（　　）

A（1，1，1）

B（1，0，1）

C（0，1，1）

D（0，0，1）

正确答案

D

解析

解：设平面AOB的一个法向量为=（x，y，z）．

则，

解得x=y=0．

∴只有D中的向量（0，0，1）满足条件．

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

直线l的方向向量为=（2，-4，3），平面α的一个法向量为=（p，q，6），若l⊥α，则p=______；q=______．

正确答案

4

-8

解析

解：∵l⊥α，

∴，

∴存在实数k使得，

∴，解得k=2，p=4，q=-8．

故答案分别为：4；-8．

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题型：单选题

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单选题

已知A（2，1，1），B（1，1，2），C（2，0，1），则下列说法中正确的是（　　）

AA，B，C三点可以构成直角三角形

BA，B，C三点可以构成锐角三角形

CA，B，C三点可以构成钝角三角形

DA，B，C三点不能构成任何三角形

正确答案

A

解析

解：∵，，|AC|=1，

∴|BC|2=|AC|2+|AB|2，

∴A，B，C三点可以构成直角三角形，

故选A．

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