热门试卷

（Ⅰ）证法一：在四棱锥P-ABCD中，取PC的中点F，连接EF、FB，

因为E是PD的中点，所以EFCDAB，…（2分）

所以四边形AEFB是平行四边形，…（3分）

则AE∥FB，

而AE⊄平面PBC，FB⊂平面PBC，…（5分）

∴AE∥平面PBC．　　　　　　　　　　…（6分）

证法二：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

设PB=t，则P（0，0，t），D（-1，2，0），C（1，2，0），A（-1，0，0），

所以E（-，1，），，…（2分）

设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，所以，即

取y=-1，得到平面PBC的法向量为=（2，-1，0）．

所以=0，而AE⊄平面PBC，则AE∥平面PBC．…（6分）

（Ⅱ）解：同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，

设PB=t（t＞0），则P（0，0，t），D（-1，2，0），C（1，2，0），

所以=（-1，2，-t），=（1，2，0），

则||=，||=，…（9分）

由已知异面直线BC与PD成60°角，所以•==，

又•=-1×1+2×2+（-t）×0=3，

所以=3，解得t=，即PB=，

所以侧视图的面积为S=×2×=．…（13分）

解：（1）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A1（6，0，6）、C1（0，6，6），设AE=m，则E（6，m，0），F（6-m，6，0），

从而、，

∵，

所以A1F⊥C1E（4分）．

（2）①当A1、E、F、C1共面时，

因为底面ABCD∥A1B1C1D1，

所以A1C1∥EF，

所以EF∥AC，

从而E、F分别是AB、BC的中点（7分），

设D1到直线C1E的距离为h，

在△C1D1E中，，

，

解得（7分）．

②由①得，E（6，3，0）、F（3，6，0），

设平面A1DE的一个法向量为，

依题意，

所以，

同理平面C1DF的一个法向量为，

由图知，面A1DE与面C1DF所成二面角的余弦值

证明：（1）连接BG，则

=

由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，（其中）

（2）因为．

所以EH∥BD，又EH⊂面EFGH，BD不在 面EFGH

所以BD∥平面EFGH．

（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG

由（2）知，同理，所以，

EH∥FG，EH=FG，所以EG、FH交于一点M且被M平分，

所以

=

证明：（1）设正方体的棱长为a，则={  ， 0 ， a }，={ a ， a ， 0 }

∵•=0 ， •=0

∴⊥ ， ⊥

又∵DE∩DB=D

∴HC1⊥平面EDB．

（2）={ -a ，0 ， a }，设与所成的角为θ

∵cosθ===

∴θ=45°．

由（1）知HC1⊥平面EDB

∴∠C1BH为BC1与平面EDB所成的角

∴∠C1BH=90°-45°=45°

（3）VA-EDB=VE-ABD=•a2•a=a3．

（Ⅰ）证明：∵AB=2BC，∠ABC=60°，

在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos60°=3BC2，

∴AC2+BC2=4BC2=AB2，∴∠ACB=90°．

∴AC⊥BC．

又∵AC⊥FB，FB∩BC=B，

∴AC⊥平面FBC．

（Ⅱ）

线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．

证明如下：

因为AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC．

因为CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD．

所以CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C-xyz．

在等腰梯形ABCD中，可得 CB=CD．

设BC=1，所以C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，D(，-，0)，E(，-，1)．

所以=(，-，1)，=(，0，0)，=(0，1，0)．

设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则，

所以取z=1，得=（0，2，1）．

假设线段ED上存在点Q，设Q(，-，t)(0≤t≤1)，所以=(，-，t)．

设平面QBC的法向量为=（a，b，c），则

所以取c=1，得=(-，0，1)．

要使平面EAC⊥平面QBC，只需•=0，

即 -t×0+0×2+1×1=0，此方程无解．

所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．

（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．）

方法1：（1）证明：因为，，所以，即．

又因为，，所以平面．

因为，所以．………………………………………………………………4分

（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．………………………………………………………………………7分

过点作于点，连接，

由（1）知，，，所以平面．

因为平面，所以．

所以为二面角的平面角．…………………………………………………………9分

由（1）知，平面，平面，

所以，即△为直角三角形．

在△中，，，则．

由，解得．

因为．…………………………………………………………………………13分

所以．

所以二面角的平面角大小为．………………………………………………………14分

方法2：（1）证明：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………2分

解得

所以，．………………………………………………………………………3分

以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．

………………………5分

因为，

所以．

所以．…………………………………………………9分

（2）解：设是平面的法向量，因为，

所以即 

取，则是平面的一个法向量．……………………………………………11分

由（1）知，，又，，所以平面．

所以是平面的一个法向量．……………………………………………………12分

因为，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小为．………………………………………………………14分

方法3：（1）证明：因为，，所以，即．

又因为，，所以平面．

因为，

所以．…………………………………………………………………………………………4分

（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．………………………………………………………………………7分

以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．

…………………………9分

设是平面的法向量，

则即 

取，则是平面的一个法向量．………11分

由（1）知，，又，，

所以平面．

所以是平面的一个法向量．……………………………………………………12分

因为，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小为．………………………………………………………14分

略

证明：（1）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．

∵E（2，1，0），C（0，2，0），B1（2，2，2）

∴=(0， 1， 2)，=(-2， -1， 0)．

设平面EB1D的法向量为1=（x，y，z），则

即，不妨取1=（1，-2，1）．

同理，平面B1CD的法向量2=（-1，0，1）．…（3分）

∵1•2=-1+1=0，∴平面EB1D⊥平面B1CD．   …（4分）

（2）解由（1）得平面B1CD的法向量2=（-1，0，1），

又平面CDE的法向量=（0，0，1），∴cos＜，＞===…（7分）

∴二面角E-B1C-D的大小为45°． …（8分）

（3）由（1）得平面B1CD的法向量2=（-1，0，1），又=(2，1，0)

∴点E到平面B1CD的距离为==…（12分）

说明：采用其它方法进行解答的，按每小题（3分），根据作答情况酌情给分．

证明：（1）∵=（-1，2，1），=（0，-2，3），═（8，3，2），

∴•=0，•=0，

∴⊥，⊥，

即AP⊥AB且AP⊥AD，

又∵AB∩AD=A

∴AP⊥平面ABCD；

（2）∵=（-1，2，1），=（0，-2，3），═（8，3，2），

∴=+=(-1，0，4)，=-=(9，3，-2)，

∴|PC|=．

（1）详见解析；（2）二面角的余弦值为.

试题分析：（1）要证，先证平面，则要证明垂直于平面内的两条相交直线，先由正方形的对角线互相垂直得到，再由平面，得到，结合直线与平面垂直的判定定理得到平面，从而得到；（2）以为原点，、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值.

试题解析：（1）∵平面，∴，

∵底面是正方形，∴，∴平面，

∵平面，∴.

（2）以为原点，、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系．

设，则，，因为，

易知，，,，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，，

即，令，得，同理可取平面的法向量，

所以，所以二面角的余弦值为.

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为．

试题分析：（Ⅰ）求证：平面平面，证明两个平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可，由长方体的性质，易证平面，从而可证平面平面；（Ⅱ）若点为棱的中点，点为棱的中点，求二面角的余弦值，求二面角问题，可用传统方法，找二面角的平面角，但本题不易找，另一种方法，用向量法，本题因为是长方体，容易建立空间坐标系，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，分别设出两个平面的法向量，利用向量的运算，求出向量，即可求出二面角的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）为正方形                      2分

平面                         4分

又，平面  平面平面      6分

（Ⅱ）建立以为轴，以为轴，以为轴的空间直角坐标系     7分

设平面的法向量为，

                    9分

设平面的法向量为，

                      11分

                             13分

二面角的余弦值为                     14分

（1）证明过程详见解析；（2）．

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力．第一问，连结OC，由于为等腰三角形，O为AB的中点，所以，利用面面垂直的性质，得平面ABEF，利用线面垂直的性质得，由线面垂直的判定得平面OEC，所以，所以线面垂直的判定得平面，最后利用线面垂直的性质得；第二问，利用向量法，先建立空间直角坐标系，求出平面FCE和平面CEB的法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值，但是需要判断二面角是锐角还是钝角．

试题解析：（1）证明：连结OC，因AC=BC，O是AB的中点，故．

又因平面ABC平面ABEF，故平面ABEF，     2分

于是．又，所以平面OEC，所以，     4分

又因，故平面，所以．     6分

（2）由（1），得，不妨设，，取EF的中点D，以O为原点，OC，OB，OD所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，

在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则从而设平面的法向量，由，得，                    9分

同理可求得平面的法向量，设的夹角为，则，由于二面角为钝二面角，则余弦值为                            13分

(1)见解析(2)

(1)连接AC交BD于点O，连接OE；在△CPA中，E，O分别是边CP，CA的中点，∴OE∥PA，而OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.

(2)如图建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝2.

则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，

B(2,2,0),＝(0,1,1)，＝(2,2,0)．，

设n＝(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，则由得

取y＝－1，得n＝(1，－1,1)，又＝(2,0,0)是平面DEC的一个法向量．

∴cos〈n，〉＝＝.

故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为