- 空间向量与立体几何
- 共9778题
如图所示,在四棱锥中,底面
为矩形,
平面
,点
在线段
上,
平面
.
(Ⅰ)证明:平面
;
(Ⅱ)若,
,求二面角
的正切值.
正确答案
(1)对于线面垂直的证明,一般要通过线线垂直来分析证明,关键是对于,
(2)3
试题分析:解析:(Ⅰ)因为平面
,
平面
,所以
.又因为
平面
,
平面
,所以
.而
,
平面
,
平面
,所以
平面
.
5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面
,而
平面
,所以
,而
为矩形,所以
为正方形,于是
.
法1:以点为原点,
、
、
为
轴、
轴、
轴,建立空间直角坐标系
.则
、
、
、
,于是
,
.设平面
的一个法向量为
,则
,从而
,令
,得
.而平面
的一个法向量为
.所以二面角
的余弦值为
,于是二面角
的正切值为3. 13分
法2:设与
交于点
,连接
.因为
平面
,
平面
,
平面
,所以
,
,于是
就是二面角
的平面角.又因为
平面
,
平面
,所以
是直角三角形.由
∽
可得
,而
,所以
,
,而
,所以
,于是
,而
,于是二面角
的正切值为
.
点评:主要是考查了空间几何体中线面垂直的证明,以及二面角的平面角的求解,属于中档题。
四棱锥中,底面
为平行四边形,侧面
面
,已知
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)在SB上选取点P,使SD//平面PAC ,并证明;
(Ⅲ)求直线与面
所成角的正弦值。
正确答案
(1)(2)详见试题解析;
试题分析:(Ⅰ)要证线线垂直只要证明线面垂直,利用题中数据求出底面平行四边形的各边的长度,找到 及
是等腰三角形,利用等腰三角形中线是高结论找到“线线垂直”关系(Ⅱ)要找线面平行先找线线平行,要找线线平行先找面面交线,即平面
与平面
交线
, 注意到
为中点的特点,即可导致
∥
,从而推出线面平行 (Ⅲ)建立空间直角坐标系,确定关键点
的坐标,再运用空间向量进行运算.
试题解析:(Ⅰ)证明:连接AC,
,
由余弦定理得,
2分
取中点
,连接
,则
.
面
4分
(Ⅱ)当为
的中点时,
面
证明:连接 ,在
中,
∥
,又
平面
,
平面面
,
平面
. 7分
(3)如图,以射线OA为X轴,以射线OB为轴,以射线OS为
轴,以
为原点,建立空间直角坐标系
,则
.
,
9分
设平面法向量为
有令
,则
,
11分
所以直线与面
所成角的正弦值为
12分
(理)如图,P—ABCD是正四棱锥,是正方体,其中
(1)求证:;
(2)求平面PAD与平面所成的锐二面角
的余弦值;
正确答案
(1)以为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系
, ∴
∴
∴
∴ , 即
(2)
试题分析:以为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系
(1)证明:设E是BD的中点,P—ABCD是正四棱锥,
∴
又, ∴
∴
∴
∴ , 即
.
(2)解:设平面PAD的法向量是,
∴ 取
得
,
又平面的法向量是
∴ , ∴
.
点评:要证两直线垂直只需证明两直线的方向向量数量积为0,求二面角时首先找到两个半平面对应的法向量,求出法向量夹角,进而转化为平面角
已知是边长为
的正方形ABCD的中心,点E、F分别是AD、BC的中点,沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B;
(Ⅰ)求∠EOF的大小;
(Ⅱ)求二面角E-OF-A的余弦值;
(Ⅲ)求点D到面EOF的距离.
正确答案
(Ⅰ)以O点为原点,以的方向为
轴的正方向,建立如图所示的坐标系,则
,
,
,
,
,
(Ⅱ)设平面EOF的法向量为,则
,即
,令
,则
,
得,
又平面FOA的法向量 为 ,
,
二面角E-OF-A的余弦值为.
(Ⅲ),
∴点D到平面EOF的距离为.
略
(本小题满分12分)
如图,在长方体中,
,
为
的中点,
为
的中点。
(1)证明:;
(2)求与平面
所成角的正弦值。
正确答案
,
方法一:(1)根据已知在长方体,
在中,
,(3分)
同理可求,
,(理3分,文4分)
∴,∴
,即
。(6分)
(2)设点到平面
的距离为
,连结
,则
,
∴,(8分)
而,在
中,
,(10分)
,所以
,∴
,
即点到平面
的距离为
,
故与平面
所成角的正弦值为
.(12分)
方法2:(1)以点为原点,分别以
为
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
,(2分)
依题意,可得
。(4分)
∴,
,
∴ ,
即,∴
。(6分)
(2)设,且
平面
,则
,即
,
∴解得
,
取,得
,所以
与平面
所成角的正弦值为
。(12分)
已知ABCD是平行四边形,P点是ABCD所在平面外的一点,连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.
(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面;
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.
正确答案
(1)证明略(2) 平面EFGH∥平面ABCD
(1) 分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点,因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心,所以M、N、Q、R为所在边的中点,顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形,且有=
,
=
,
=
,
=
∴
=
+
=(-
)+(
-
)
=(
-
)+
(
-
)
=(
+
)
又∵=
-
=
-
=
∴=
(
+
),∴
=
+
由共面向量定理知:E、F、G、H四点共面.
(2) 由(1)得=
,故
∥
.
又∵平面ABC,EG
平面ABC.
∴EG∥平面ABC.
又∵=
-
=
-
=
∴MN∥EF,又∵MN平面ABC,EF
平面ABC,
EF∥平面ABC.
∵EG与EF交于E点,
∴平面EFGH∥平面ABCD.
如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1,M为AA1的中点,N为A1B1上的点,且满足A1N=
NB1,P为底面正方形A1B1C1D1的中心.求证:MN⊥MC,MP⊥B1C.
正确答案
证明略
设=a,
=b,
=c
则a、b、c两两垂直且模相等.
∴a·b=b·c=a·c=0,
又∵=
NB1
∴=
=
b,
=
+
=
a+
b,
=
+
+
=-
a+b+c,
∴·
=(
a+
b)·(b+c-
a)
=-
=0.
∴MN⊥MC,
又=
+
=
+
(b+c)=
(a+b+c),
=
+
=-a+c.
∴·
=
(a+b+c)(c-a)=0.∴MP⊥B1C.
已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点.沿BD将△BCD翻折到△,使得平面
⊥平面ABD.
(Ⅰ)求证:平面ABD;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
正确答案
(Ⅰ)先证 (Ⅱ)
(Ⅲ)
试题分析:(Ⅰ)平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,
沿直线BD将△BCD翻折成△
可知CD=6,BC’=BC=10,BD=8,
即,
故.
∵平面⊥平面
,平面
平面
=
,
平面
,
∴平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面ABD,且
,
如图,以D为原点,建立空间直角坐标系.
则,
,
,
.
∵E是线段AD的中点,
∴,
.
在平面中,
,
,
设平面法向量为
,
∴,即
,
令,得
,故
.
设直线与平面
所成角为
,则
.
∴直线与平面
所成角的正弦值为
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的法向量为
,
而平面的法向量为
,
∴,
因为二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为
.
点评:本题重点考查线面垂直、线面角与二面角的平面角,以及翻折问题,学生必须要掌握在翻折的过程中,哪些是不变的,哪些是改变,这也是解决此类问题的关键.
如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是⊙O的直径,AB=AC=6,
OE∥AD.
(1)求二面角B-AD-F的大小;
(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值.
正确答案
(1) 二面角B—AD—F的大小为45° (2) 直线BD与EF所成的角的余弦值为
(1)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB,AD⊥AF,
故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.
依题意可知,ABFC是正方形,
∴∠BAF=45°.
即二面角B—AD—F的大小为45°;
(2)以O为原点,CB、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),
则O(0,0,0),
A(0,-3,0),B(3
,0,0),D(0,-3
,8),
E(0,0,8),F(0,3,0),
∴=(-3
,-3
,8),
=(0,3
,-8).
cos〈,
〉=
=
=-
.
设异面直线BD与EF所成角为,则
cos=|cos〈
,
〉|=
.
即直线BD与EF所成的角的余弦值为.
如图,正方体的棱长为
,
、
分别是
、
的中点.
⑴求多面体的体积;
⑵求与平面
所成角的余弦值.
正确答案
(1)
(2)
试题分析:⑴……1分,
……2分,
……3分,所以,多面体
的体积
……4分
⑵以为原点,
、
、
分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系……5分,则
,
,
,
……6分,设平面
的一个法向量为
,则
……8分,即
9分,取,则
……10分,
11分,
12分,
与平面
所成角的余弦值
13分。
点评:主要是考查了线面角的求解以及锥体体积的求解,属于中档题。
已知直线的法向量为
,则该直线的倾斜角为 .(用反三角函数值表示)
正确答案
试题分析:直线法向量为,则其斜率为
,倾斜角为
.
如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2.
(Ⅰ)求异面直线EF与BC所成角的大小;
(Ⅱ)若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为,求AB的长.
正确答案
(Ⅰ)30°;(Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)异面直线EF与BC所成角的大小,即AD与EF所成角的大小,则在面ADEF内求AD与EF所成角的大小即可;(Ⅱ)法一:根据条件,取AF的中点G,先证明DG垂直平面ABF,然后过G向交线BF作垂线,找出二面角的平面角,根据平面角的余弦值大小,列关系式求AB的长;法二:以F为原点,AF、FQ所在直线为x轴,y轴建立空间直角坐标系,列出各点坐标,分别找出面ABF和面BDF的法向量,再根据向量的数量积公式以及平面角的余弦值求AB的长.
试题解析:(Ⅰ) 延长AD,FE交于Q.
因为ABCD是矩形,所以BC∥AD,
所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角.
在梯形ADEF中,因为DE∥AF,AF⊥FE,AF=2,DE=1
得AQF=30°. 7分
(Ⅱ)方法一:
设AB=x.取AF的中点G.由题意得DG⊥AF.
因为平面ABCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,所以AB⊥平面ADEF,
所以AB⊥DG.
所以DG⊥平面ABF.
过G作GH⊥BF,垂足为H,连结DH,则DH⊥BF,
所以∠DHG为二面角A-BF-D的平面角.
在直角△AGD中,AD=2,AG=1,得DG=.
在直角△BAF中,由=sin∠AFB=
,得
=
,
所以GH=.
在直角△DGH中,DG=,GH=
,得DH=
.
因为cos∠DHG==
,得x=
,
所以AB=. 15分
方法二:设AB=x.
以F为原点,AF,FQ所在的直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系Fxyz.则
F(0,0,0),A(-2,0,0),E(,0,0),D(-1,
,0),B(-2,0,x),
所以=(1,-
,0),
=(2,0,-x).
因为EF⊥平面ABF,所以平面ABF的法向量可取=(0,1,0).
设=(x1,y1,z1)为平面BFD的法向量,则
所以,可取=(
,1,
).
因为cos<,
>=
=
,得x=
,
所以AB=. 15分
如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2.
(Ⅰ)求异面直线EF与BC所成角的大小;
(Ⅱ)若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为,求AB的长.
正确答案
(Ⅰ)30°;(Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)异面直线EF与BC所成角的大小,即AD与EF所成角的大小,则在面ADEF内求AD与EF所成角的大小即可;(Ⅱ)法一:根据条件,取AF的中点G,先证明DG垂直平面ABF,然后过G向交线BF作垂线,找出二面角的平面角,根据平面角的余弦值大小,列关系式求AB的长;法二:以F为原点,AF、FQ所在直线为x轴,y轴建立空间直角坐标系,列出各点坐标,分别找出面ABF和面BDF的法向量,再根据向量的数量积公式以及平面角的余弦值求AB的长.
试题解析:(Ⅰ) 延长AD,FE交于Q.
因为ABCD是矩形,所以BC∥AD,
所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角.
在梯形ADEF中,因为DE∥AF,AF⊥FE,AF=2,DE=1
得AQF=30°. 7分
(Ⅱ)方法一:
设AB=x.取AF的中点G.由题意得DG⊥AF.
因为平面ABCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,所以AB⊥平面ADEF,
所以AB⊥DG.
所以DG⊥平面ABF.
过G作GH⊥BF,垂足为H,连结DH,则DH⊥BF,
所以∠DHG为二面角A-BF-D的平面角.
在直角△AGD中,AD=2,AG=1,得DG=.
在直角△BAF中,由=sin∠AFB=
,得
=
,
所以GH=.
在直角△DGH中,DG=,GH=
,得DH=
.
因为cos∠DHG==
,得x=
,
所以AB=. 15分
方法二:设AB=x.
以F为原点,AF,FQ所在的直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系Fxyz.则
F(0,0,0),A(-2,0,0),E(,0,0),D(-1,
,0),B(-2,0,x),
所以=(1,-
,0),
=(2,0,-x).
因为EF⊥平面ABF,所以平面ABF的法向量可取=(0,1,0).
设=(x1,y1,z1)为平面BFD的法向量,则
所以,可取=(
,1,
).
因为cos<,
>=
=
,得x=
,
所以AB=. 15分
如图,在三棱锥中,
,
,
,
,则BC和平面ACD所成角的正弦值为 .
正确答案
.
试题分析:可以以B为原点,以BA,BC,BD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,求出直线BC的方向向量和平面ACD的法向量,然后运用向量的线面角公式即可.
如右图,已知ABCD为正方形,,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求点A到平面BEF的距离;
正确答案
(1)连AC交BD于O,取BF的中点G,连EG,
…………………6分
(2)由(1)知AO//EG
到平面BEF的距离就是A到平面BEF的距离
过O作
即点A到平面BEF的距离为
.
略
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