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题型:简答题
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简答题

如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.

(Ⅰ)证明:平面;

(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.

正确答案

(1)对于线面垂直的证明,一般要通过线线垂直来分析证明,关键是对于

(2)3

试题分析:解析:(Ⅰ)因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面.                                 

5分 

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以,而为矩形,所以为正方形,于是.

法1:以点为原点,轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则,于是,.设平面的一个法向量为,则,从而,令,得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为,于是二面角的正切值为3.                                      13分

法2:设交于点,连接.因为平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因为平面,平面,所以是直角三角形.由可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值为.

点评:主要是考查了空间几何体中线面垂直的证明,以及二面角的平面角的求解,属于中档题。

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题型:简答题
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简答题

四棱锥中,底面为平行四边形,侧面,已知

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)在SB上选取点P,使SD//平面PAC ,并证明;

(Ⅲ)求直线与面所成角的正弦值。

正确答案

(1)(2)详见试题解析; 

试题分析:(Ⅰ)要证线线垂直只要证明线面垂直,利用题中数据求出底面平行四边形的各边的长度,找到 及 是等腰三角形,利用等腰三角形中线是高结论找到“线线垂直”关系(Ⅱ)要找线面平行先找线线平行,要找线线平行先找面面交线,即平面 与平面交线 , 注意到为中点的特点,即可导致,从而推出线面平行 (Ⅲ)建立空间直角坐标系,确定关键点的坐标,再运用空间向量进行运算.

试题解析:(Ⅰ)证明:连接AC,

由余弦定理得  2分

中点,连接,则.

 

       4分

(Ⅱ)当的中点时,

证明:连接 ,在中,  ,又 平面 ,

平面面 平面.  7分

(3)如图,以射线OA为X轴,以射线OB为轴,以射线OS为轴,以为原点,建立空间直角坐标系,则

      

9分

设平面法向量为

,则

   11分   

所以直线与面所成角的正弦值为12分

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题型:简答题
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简答题

(理)如图,P—ABCD是正四棱锥,是正方体,其中

(1)求证:

(2)求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值;

正确答案

(1)以轴,轴,轴建立空间直角坐标系, ∴ ∴

 , 即(2)

试题分析:以轴,轴,轴建立空间直角坐标系

(1)证明:设E是BD的中点,P—ABCD是正四棱锥,

 

, ∴ ∴

 , 即.

(2)解:设平面PAD的法向量是

 

   取

又平面的法向量是

  , ∴.

点评:要证两直线垂直只需证明两直线的方向向量数量积为0,求二面角时首先找到两个半平面对应的法向量,求出法向量夹角,进而转化为平面角

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题型:简答题
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简答题

已知是边长为的正方形ABCD的中心,点E、F分别是AD、BC的中点,沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B;

(Ⅰ)求∠EOF的大小;

(Ⅱ)求二面角E-OF-A的余弦值;

(Ⅲ)求点D到面EOF的距离.

正确答案

(Ⅰ)以O点为原点,以的方向为轴的正方向,建立如图所示的坐标系,则

,     

(Ⅱ)设平面EOF的法向量为,则

,即,令,则

又平面FOA的法向量 为

二面角E-OF-A的余弦值为.                            

(Ⅲ)

∴点D到平面EOF的距离为

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)

如图,在长方体中,的中点,的中点。

(1)证明:

(2)求与平面所成角的正弦值。

正确答案

 

方法一:(1)根据已知在长方体

中, ,(3分)

同理可求,(理3分,文4分)

,∴,即。(6分)

(2)设点到平面的距离为,连结,则 ,

,(8分)

,在中,,(10分)

,所以,∴

即点到平面的距离为

与平面所成角的正弦值为.(12分)

方法2:(1)以点为原点,分别以轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,(2分)

依题意,可得 。(4分)

 ,

,∴。(6分)

(2)设,且平面,则

 ,即

解得

,得,所以与平面所成角的正弦值为

。(12分)

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题型:简答题
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简答题

已知ABCD是平行四边形,P点是ABCD所在平面外的一点,连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.

(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面;

(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.

正确答案

(1)证明略(2) 平面EFGH∥平面ABCD

(1) 分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点,因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心,所以M、N、Q、R为所在边的中点,顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形,且有=

== =

=+

=(-)+(-

=-)+-

=+

又∵=-=-=

=+),∴=+

由共面向量定理知:E、F、G、H四点共面.

(2) 由(1)得=,故.

又∵平面ABC,EG平面ABC.

∴EG∥平面ABC.

又∵=-=-=

∴MN∥EF,又∵MN平面ABC,EF平面ABC,

EF∥平面ABC.

∵EG与EF交于E点,

∴平面EFGH∥平面ABCD.

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题型:简答题
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简答题

如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1,M为AA1的中点,N为A1B1上的点,且满足A1N=NB1,P为底面正方形A1B1C1D1的中心.求证:MN⊥MC,MP⊥B1C.

正确答案

证明略

 设=a,=b,=c

则a、b、c两两垂直且模相等.

∴a·b=b·c=a·c=0,

又∵=NB1

==b,

=+=a+b,

=++=-a+b+c,

·=(a+b)·(b+c-a)

=- =0.

∴MN⊥MC,

=+ =+(b+c)=(a+b+c),

=+=-a+c.

·=(a+b+c)(c-a)=0.∴MP⊥B1C.

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题型:简答题
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简答题

已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点.沿BD将△BCD翻折到△,使得平面⊥平面ABD.

(Ⅰ)求证:平面ABD;

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

正确答案

(Ⅰ)先证 (Ⅱ) (Ⅲ)

试题分析:(Ⅰ)平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,

沿直线BD将△BCD翻折成△

可知CD=6,BC’=BC=10,BD=8,

.          

∵平面⊥平面,平面平面=平面

平面.        

(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面ABD,且

如图,以D为原点,建立空间直角坐标系.            

∵E是线段AD的中点,

在平面中,

设平面法向量为

,即

,得,故.            

设直线与平面所成角为,则

.           

∴直线与平面所成角的正弦值为.              

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的法向量为

而平面的法向量为

因为二面角为锐角,

所以二面角的余弦值为

点评:本题重点考查线面垂直、线面角与二面角的平面角,以及翻折问题,学生必须要掌握在翻折的过程中,哪些是不变的,哪些是改变,这也是解决此类问题的关键.

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题型:简答题
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简答题

如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是⊙O的直径,AB=AC=6,

OE∥AD.

(1)求二面角B-AD-F的大小;

(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值.

正确答案

(1) 二面角B—AD—F的大小为45° (2) 直线BD与EF所成的角的余弦值为

 (1)∵AD与两圆所在的平面均垂直,

∴AD⊥AB,AD⊥AF,

故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.

依题意可知,ABFC是正方形,

∴∠BAF=45°.

即二面角B—AD—F的大小为45°;

(2)以O为原点,CB、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),

则O(0,0,0),

A(0,-3,0),B(3,0,0),D(0,-3,8),

E(0,0,8),F(0,3,0),

=(-3,-3,8),=(0,3,-8).

cos〈,〉= ==-.

设异面直线BD与EF所成角为,则

cos=|cos〈,〉|=.

即直线BD与EF所成的角的余弦值为.

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题型:简答题
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简答题

如图,正方体的棱长为分别是的中点.

⑴求多面体的体积;

⑵求与平面所成角的余弦值.

正确答案

(1)

(2)

试题分析:⑴……1分,……2分,……3分,所以,多面体的体积……4分

⑵以为原点,分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系……5分,则……6分,设平面的一个法向量为,则……8分,即

9分,取,则……10分,  11分, 12分,

与平面所成角的余弦值  13分。

点评:主要是考查了线面角的求解以及锥体体积的求解,属于中档题。

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题型:填空题
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填空题

已知直线的法向量为,则该直线的倾斜角为        .(用反三角函数值表示)

正确答案

试题分析:直线法向量为,则其斜率为,倾斜角为

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题型:简答题
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简答题

如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2.

(Ⅰ)求异面直线EF与BC所成角的大小;

(Ⅱ)若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为,求AB的长.

正确答案

(Ⅰ)30°;(Ⅱ)

试题分析:(Ⅰ)异面直线EF与BC所成角的大小,即AD与EF所成角的大小,则在面ADEF内求AD与EF所成角的大小即可;(Ⅱ)法一:根据条件,取AF的中点G,先证明DG垂直平面ABF,然后过G向交线BF作垂线,找出二面角的平面角,根据平面角的余弦值大小,列关系式求AB的长;法二:以F为原点,AF、FQ所在直线为x轴,y轴建立空间直角坐标系,列出各点坐标,分别找出面ABF和面BDF的法向量,再根据向量的数量积公式以及平面角的余弦值求AB的长.

试题解析:(Ⅰ) 延长AD,FE交于Q.

因为ABCD是矩形,所以BC∥AD,

所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角.

在梯形ADEF中,因为DE∥AF,AF⊥FE,AF=2,DE=1

得AQF=30°. 7分

(Ⅱ)方法一:

设AB=x.取AF的中点G.由题意得DG⊥AF.

因为平面ABCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,所以AB⊥平面ADEF,

所以AB⊥DG.

所以DG⊥平面ABF.

过G作GH⊥BF,垂足为H,连结DH,则DH⊥BF,

所以∠DHG为二面角A-BF-D的平面角.

在直角△AGD中,AD=2,AG=1,得DG=

在直角△BAF中,由=sin∠AFB=,得

所以GH=

在直角△DGH中,DG=,GH=,得DH=

因为cos∠DHG=,得x=

所以AB=. 15分

方法二:设AB=x.

以F为原点,AF,FQ所在的直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系Fxyz.则

F(0,0,0),A(-2,0,0),E(,0,0),D(-1,,0),B(-2,0,x),

所以=(1,-,0),=(2,0,-x).

因为EF⊥平面ABF,所以平面ABF的法向量可取=(0,1,0).

=(x1,y1,z1)为平面BFD的法向量,则

所以,可取=(,1,).

因为cos<>=,得x=

所以AB=. 15分

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题型:简答题
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简答题

如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2.

(Ⅰ)求异面直线EF与BC所成角的大小;

(Ⅱ)若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为,求AB的长.

正确答案

(Ⅰ)30°;(Ⅱ)

试题分析:(Ⅰ)异面直线EF与BC所成角的大小,即AD与EF所成角的大小,则在面ADEF内求AD与EF所成角的大小即可;(Ⅱ)法一:根据条件,取AF的中点G,先证明DG垂直平面ABF,然后过G向交线BF作垂线,找出二面角的平面角,根据平面角的余弦值大小,列关系式求AB的长;法二:以F为原点,AF、FQ所在直线为x轴,y轴建立空间直角坐标系,列出各点坐标,分别找出面ABF和面BDF的法向量,再根据向量的数量积公式以及平面角的余弦值求AB的长.

试题解析:(Ⅰ) 延长AD,FE交于Q.

因为ABCD是矩形,所以BC∥AD,

所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角.

在梯形ADEF中,因为DE∥AF,AF⊥FE,AF=2,DE=1

得AQF=30°. 7分

(Ⅱ)方法一:

设AB=x.取AF的中点G.由题意得DG⊥AF.

因为平面ABCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,所以AB⊥平面ADEF,

所以AB⊥DG.

所以DG⊥平面ABF.

过G作GH⊥BF,垂足为H,连结DH,则DH⊥BF,

所以∠DHG为二面角A-BF-D的平面角.

在直角△AGD中,AD=2,AG=1,得DG=

在直角△BAF中,由=sin∠AFB=,得

所以GH=

在直角△DGH中,DG=,GH=,得DH=

因为cos∠DHG=,得x=

所以AB=. 15分

方法二:设AB=x.

以F为原点,AF,FQ所在的直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系Fxyz.则

F(0,0,0),A(-2,0,0),E(,0,0),D(-1,,0),B(-2,0,x),

所以=(1,-,0),=(2,0,-x).

因为EF⊥平面ABF,所以平面ABF的法向量可取=(0,1,0).

=(x1,y1,z1)为平面BFD的法向量,则

所以,可取=(,1,).

因为cos<>=,得x=

所以AB=. 15分

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题型:填空题
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填空题

如图,在三棱锥中,,则BC和平面ACD所成角的正弦值为     

正确答案

.

试题分析:可以以B为原点,以BA,BC,BD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,求出直线BC的方向向量和平面ACD的法向量,然后运用向量的线面角公式即可.

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题型:简答题
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简答题

如右图,已知ABCD为正方形,.

(1)求证:平面平面

(2)求点A到平面BEF的距离;

正确答案

(1)连ACBDO,取BF的中点G,连EG,

…………………6分

(2)由(1)知AO//EG  

到平面BEF的距离就是A到平面BEF的距离

O

 即点A到平面BEF的距离为.

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