热门试卷

（1）见解析（2）

试题分析：（1）只要证出∥，由直线与平面平行的判定定理即可得证

（2）建立空间直角坐标系，利用求二面角的公式求解

试题解析：（1）在中、分别是、的中点

∴∥

又∵平面，平面

∴∥平面

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，

则，，，

，，

∴，

平面的一个法向量

设平面的一个法向量为

则即

取.

∴

∴二面角的余弦值是.

（1）；（2）

试题分析：（1）首先建立空间直角坐标系，列出各对应点坐标，表示对应向量坐标，(－2，2，a)，(0，1，－a)，再根据空间向量数量积定义，得到2－a2＝0，从而求出a的值，（2）先判断二面角E－FD1－D为锐二面角，所以求二面角E－FD1－D的余弦值，就转化为求两个平面法向量夹角的余弦值的绝对值.又平面FD1D的一个法向量为,所以关键求平面EFD1的一个法向量n＝(x，y，z)，利用 n⊥，n⊥可求出x＝y＝2z，取其一个法向量为n＝(2，2，1)，再利用空间向量夹角公式，就可得到二面角E－FD1－D的余弦值.

试题解析：解 如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，

DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立坐标系．

（1）由题意得A(2，0，0)，D1(0，0，a)，C1(0，2，a)，F(0，1，0)．

故 (－2，2，a)， (0，1，－a)．    2分

因为AC1⊥D1F，所以，即(－2，2，a)·(0，1，－a)＝0．

从而2－a2＝0，又a＞0，故．                       5分

（2）平面FD1D的一个法向量为m＝(1，0，0)．  设平面EFD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

因为E(1，0，0)，a＝2，故＝(－1，1，0)，(0，1，－2)．

由n⊥，n⊥，得－x＋y＝0且y－2z＝0，解得x＝y＝2z．

故平面EFD1的一个法向量为n＝(2，2，1)．              8分

因为，且二面角E－FD1－D的大小为锐角，

所以二面角E－FD1－D的余弦值为．                   10分

(1);（2）证明见解析.

试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.

（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，.      3分

于是,,,

异面直线与所成的角的大小等于.    6分

（2）过作交于，在中，，，则，，，

，      10分

，.又，平面.  12分

⑴当时，PA∥平面QBD；⑵二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

试题分析：⑴要使得PA∥平面QBD，必须使得平面QBD内有一条直线与PA平行，为了找这条直线，先作过PA与平面QBD相交的平面，只要交线与PA平行即可.⑵由于BC,BA,BP两两垂直，故可以B为坐标原点，以BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量进行计算.

试题解析：⑴当时，PA∥平面QBD，证明如下：

连结AC交BD于点M，

∵2CD=AB,CD∥AB,∴AM=2MC

过PA的平面PAC平面QBD=MQ,

∵PA∥平面QBD,∴AP∥MQ,∴PQ=2QC.       4分

⑵设BC=1，如图，以B为坐标原点，以BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O- xyz(其中点B与点O重合)，则C(1,0,0)，A(0,2,0)，D(1,1,0)，P(0,0,1).

∵PQ=2QC，∴

设平而QBD的一个法向量为，

则

取.

又平面CBD的一个法向量为

设二面角Q-BD-C的平面角为，又为锐角

∴

∴二面角Q-BD-C的平面角的余弦值。      12分

（1）见解析（2）见解析

试题分析：（1）连接AC，AC交BD于O．连接EO．根据正方形的性质，得EO是△PAC的中位线，得PA∥EO，从而得到PA∥平面EDB；

（2）过F点作FG⊥PC于G，可得FG⊥平面PDE，FG是点F到平面PDE的距离．等腰Rt△PDC中，算出PE长和△PED的面积，再利用三角形相似算出PF和FG的长，最后用锥体体积公式，可算出三棱锥P-DEF的体积．

试题解析：方法一：

（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

在中，EO是中位线，∴PA//EO

而平面EDB且平面EDB，

所以，PA//平面EDB

（2）证明：

∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴

∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴。   ①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。

而平面PDC，∴。   ②

由①和②推得平面PBC。

而平面PBC，∴

又且，所以PB⊥平面EFD。

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设。

（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG。

依题意得。

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且

。

∴，这表明PA//EG。

而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB。

（2）证明；依题意得，。又，故。

∴.

由已知，且，所以平面EFD.

证明：如图，因为M在BD上，且BM＝BD，

所以＝＝＋.

同理＝＋.

所以＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋＝＋.

又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．

由于MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE.

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.

试题分析：本题主要考查中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，作出辅助线MN，N为中点，在中，利用中位线得到，且，结合已知条件，可证出四边形ABMN为平行四边形，所以，利用线面平行的判定，得∥平面；第二问，利用面面垂直的性质，判断面，再利用已知的边长，可证出，则利用线面垂直的判定得平面BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面；第三问，可以利用传统几何法证明二面角的平面角，也可以利用向量法建立空间直角坐标系，求出平面BEC和平面ADEF的法向量，利用夹角公式计算即可.

（1）证明：取中点，连结．

在△中，

分别为的中点，所以∥，且

．由已知∥，，所以

∥，且．所以四边形为平行四边形，

所以∥．

又因为平面，且平面，

所以∥平面．                      4分

（2）证明：在正方形中，．又因为

平面平面，且平面平面，

所以平面．所以．             6分

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，所以．         7分

所以平面．             8分

又因为平面，所以平面平面．        9分

（3）（方法一）延长和交于．

在平面内过作于,连结．由平面平面，

∥，，平面平面=，

得，于是．

又，平面，所以，

于是就是平面与平面所成锐二面角的

平面角.                             12分

由，得.

又，于是有.

在中，.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．   14分

（方法二）由（2）知平面，且．

以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系．

易得 .平面的一个法向量为.设为平面的一个法向量，因为，所以，令，得．

所以为平面的一个法向量．   １２分  

设平面与平面所成锐二面角为． 

则．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．                             14分

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线线的位置关系、线面垂直、二面角的求法等数学知识，考查几何法和向量法相结合证明线面垂直，考查空间想象能力、推理论证能力、计算能力.第一问，利用向量法证明线面垂直，如图，建立直角坐标系，得到，，坐标，通过计算可得，，则，，利用线面垂直的判定得平面；第二问，利用向量法求二面角，计算出平面PAD的法向量和平面PBD的法向量，利用夹角公式求出夹角的余弦值，结合图形判断二面角为锐角，得到二面角的值.

试题解析：如图，以B为原点，分别以BC、BA、BP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，1，0)，D(1，1，0)，P(0，0，1)，又DE＝2PE，∴.(2分)

(1)∵，，，

∴，

.

∴，，又，

∴平面.(8分)

(2)设平面的一个法向量为，

则由得，

令，则．

又，设平面的法向量为，

则由,得，

令，则，

∴，

∴.

又二面角A—PD—B为锐二面角，故二面角A—PD—B的大小为60°.(13分)

(1)------------------------------------------------------------------------1分

因为四边形是菱形，，为等边三角形。

因为是的中点，-------------------2分

平面，---------3分

,且

-----------------------------5分

-------------------------------------------------------------6分

（2）由（1），，为直角三角形，----------7分

中，，

当最短时，即时，面积的最小----  -------8分

此时，．

又，所以， 所以．------------------10分

---------------------------------------------------------------12分

略

（1）参考解析;（2）

试题分析：（1）依题意可得.即翻折后的.所以由.可得.又因为,所以可得：平面.

（2）依题意建立空间直角坐标系,由平面APQ写出其法向量.假设点E(m,n,0),根据平面APE写出其法向量.再由二面角E-AP-Q的余弦值为,可得到关于m,n的方程m+2n-6=0.再由点B到直线的距离公式即可得到结论.

（1）在正方形中，因为，

所以三棱柱的底面三角形的边．

因为，，所以，所以．

因为四边形为正方形，，所以，而，

所以平面．----------- 4分

（2）因为,,两两互相垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为．

则由，即令，

则．所以．

设点E(m,n,0),

.由得:m+2n-6=0

所以|BE|的最小值为点B到线段: m+2n-6="0" 的距离------- 13分

（1）；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）将侧面和侧面沿着展开至同一平面上，利用、、三点共线结合余弦定理求出的最小值，即线段的长度；（2）证平面，从而得到，同理得到，进而证明、在以为直径的圆上；（3）方法一是建立以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴的空间直角坐标系，利用空间向量法求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；方法二是延长与使得它们相交，找出二面角的棱，然后利用三垂线法找出平面与平面所成的锐二面角的平面角，利用直角三角函数来求相应角的余弦值.

试题解析：（1）将侧面绕侧棱旋转到与侧面在同一平面内，如下图示，

则当、、三点共线时，取最小值，这时，的最小值即线段的长，

设，则，

在中，，，

在三角形中，有余弦定理得：

，

，

（2）底面，，又

平面，又平面，，

又，平面，

又平面，，

同理，、在以为直径的圆上；

（3）方法一：如图，以为原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系如下图示，则，，由（1）可得，，平面，

为平面的一个法向量，

为平面的一个法向量，

设平面与平面所成的锐二面角的平面角为，

则，

平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

方法二： 由可知，故，

又面，

面，面，

设平面平面，平面，，

，，

又，平面，又平面，

，，

为平面与平面所成的锐二面角的一个平面角，

，

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

（1）详见解析；（2）．

试题分析：（1）要想证明线面平行，由线面平行的判定定理可知：只需证明此直线与平面内的某一直线平行即可，考虑到E为PC的中点，所以取中点为,连接和AF;然后利用三角形的中位线的性质及空间中平行线的传递性可证BE//AF,再注意BE在平面PAD外,而AF在平面PAD内,从而可证BE∥平面PAD；（2）由已知可知直线DA、DC、DP两两互相垂直，所以我们可以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系．从而由已知就可写出点Ｐ、C、A、B的坐标.进而因为E是PC的中点，求出E的坐标，然后就可写出平面BDE内不共线的两个向量的坐标，如，再设出平面BDE的一个法向量为，利用可求出平面BDE的一个法向量；而平面BDC的一个法向量显然为：，从而利用两法向量的夹角公式：就可求得所求二面角的余弦值．

试题解析：（1）证明：令中点为，连接，     1分

点分别是的中点，

,.

四边形为平行四边形.   2分

,平面,

平面                4分

(三个条件少写一个不得该步骤分）   

 　　　　       5分

（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图）．

则.     

因为E是PC的中点，所以E的坐标为               6分

设平面DBE的一个法向量为，而

则令则所以             9分

而平面DBC的一个法向量可为

故                 12分

所以二面角E-BD-C的余弦值为。     13分